KOMMENTTEJA OPINTOJAKSON DISKREETTI MATEMATIIKKA I KIRJALLISISTA HARJOITUSTEHTÄVISTÄ

Arvostelu 0, 1, 2 tai 3 p per tehtävä. Oikea vastaus ilman perusteluita tuottaa vain yhden pisteen.

Pitäkää kirjaa saamistanne pisteistä siltä varalta, että hyvityspisteiden laskemisessa sattuu jokin virhe.

Toistaiseksi olen korjannut kaikki kolmekin tehtävää ja antanut yhteispistemääräksi kahden parhaiten sujuneen pisteet.

12. kirjalliset. Nämä korjaa aikoinaan Jukka Ilmonen.

11. kirjalliset. Tehtävät ovat noudettavissa lokerikosta.

Tehtävä 277 oli vaativa. Ensinnäkin siinähän f^-1 ei tarkoita käänteisfunktiota, jota tässä tapauksessa ei välttämättä ole edes olemassa, vaan alkukuvien joukkoa. Toiseksi A on siis

tehtävässä joukko, ei mikään yksittäinen kuvattava alkio. Kolmanneksi lause oli muotoa

”jos ja vain jos”, joten siinä oli todistettava kaksi suuntaa. Neljänneksi toisen suunnan väite

A=f^-1(f(A)) on sekin kaksisuuntainen, mutta väite ”A osajoukko f^-1(f(A))” on yleisesti voimassa kuvauksille ja se on jo kirjassa esitetty. Kaiken tämän perusteella lievensin arvostelu ja täydet kolme pistettä sai, jos edes toinen suunta todistuksesta oli kunnossa.

Vastineeksi tehtävästä 245 menetti pisteen, jos b)-kohdassa ei antanut vastaukseksi ”f leikkaus g:tä”, vaan yritti muodosti esim. joukko-opillisia erotuksia erikseen funktiolle f ja g; joku voisi toki väittää, että tehtävän asettelu ei yksikäsitteisesti määrää, että vain kuvauksia f ja g sekä joukko-opillisia operaatioita saa käyttää.

10. kirjalliset. Nämä korjasi Jukka Ilmonen, joten epäselvyyksistä voi kääntyä hänen puoleensa.

9. kirjalliset.

Tehtävässä 196c) väite ei pidä paikkaansa, tämä osoitetaan vastaesimerkillä. Vastaesimerkissä op. tulee olemaan vp:n osajoukko, mutta tämä ei sinänsä vielä todista mitään. Tarvitaankin kunnon todistus, että tämä on yleisesti totta. Tällaista todistusta ei tainnut löytyä keneltäkään; arvostelu olikin lievää, pelkästä vastaesimerkistä sai jo 2-. Tasapuolisuuden vuoksi tehtävästä 207 oli mahdollista saada 3-, vaikkei ekvivalenssiluokista mitään osannutkaan sanoa.

8. kirjalliset.

Erityisesti tehtävät 154 ja 166 olivat sen verran helppoja, että monet saivat täydet pisteet. Tiukensin tehtävän 166 kohdalla arvostelua niin, että täydet 3 pistettä sai vain, jos esitti selkeän vastaesimerkin; 2 pistettä sai, jos vastauksesta oli riittävän helposti poimittavissa sopiva vastaesimerkki; vaikka olisi kuinka pitkän todistuksen esittänyt, niin siitä sai vain pisteen, jos varsinainen vastaesimerkki puuttui. Toivottavasti välikokeessa kaikki osaavat tällaisen tehtävätyypin yhteydessä esittää selkeän ja lyhyen, mutta toimivan vastaesimerkin.

Tehtävä 174 oli selvästi muita tehtäviä vaativampi. Siksi käytin siinä lievempää arvostelu. Ensinnäkin siinähän piti todistaa osajoukkorelaatio, joka voi olla myös aito. Todistusketjussa ei siis voi olla pelkkää ekvivalenssia. Oleellinen kohta on loogiselta muodoltaan seuraava:

(1) on olemassa y s.e. P(y) ja Q(y)

(2) on olemassa y s.e. P(y) ja on olemassa y s.e. Q(y)

(1)=> (2), muttei kääntäen. En kuitenkaan vienyt virheestä koko pistettä. Vaikka siis saikin

miinusta vajaat täydet pisteet, on syytä kuunnella tarkkaan mallivastaus. En myöskään vähentänyt

pistettä, vaikkei olisikaan todistanut tehtävän osajoukkorelaatiota aidoksi (eli että ko. joukot

eivät välttämättä ole samoja; tämän todistamiseksi riittää esittää esimerkki).

7. kirjalliset.

Kylläpäs todistamiset tuottivat vaikeuksia. Tehtävässä 145 monet tyytyivät antamaan vain jonkin esimerkin, toiset taas tuntuivat rakentavan todistuksensa oletukselle, että joukoilla AxB ja BxA ei

olisi yhtään yhteisiä alkioita tehtävän oletuksin. Tehtävässä 150 esitettiin muutama toimiva todistus, mutta suurin osa niistä oli turhan monimutkaisia ja/tai epämääräisiä. Tasapuolisuuden vuoksi tehtävässä 139 vähennettiin yksi piste, jos luokkajako {{1,2,3}} oli unohtunut (huomaa että luokkajako on aina joukkoperhe, eli joukko, jonka alkioina olevat joukot muodostavat luokkajaon).

Täydet 6 pistettä näistä harjoituksista oli siis varsin hyvä suoritus.

6. kirjalliset.

Teht. 122 Tässä B = {1,n}, joukko, jossa on kaksi alkiota (tai vain yksi, jos n=1).

Tehtävästä sai yrityksestä yhden pisteen, kaksi, jos jollakin n:nnän arvolla vastaukset ovat oikein

ja kolme, jos eri tapaukset oli huomioitu.

127. a) ei ole yleisesti voimassa. Tämä todistetaan vastaesimerkillä A={…} jne. Hyväksyin kuitenkin Venn-diagrammillakin esitetyn vastaesimerkin. Välikokeessa antakaa kuitenkin konkreettinen vastaesimerkki. b) kohta on voimassa, tarvitaan todistus. Kahteen pisteeseen riitti se, että edes toinen kohta oli oikein.

5. kirjalliset.

Tämän kerran tehtävistä kertyi normaalia heikommin pisteitä.

Tehtävästä 109 sai vain 0 p, jos epämääräisin (ja tietenkin väärillä) perustein väitti, ettei ko. tilanne ole mahdollinen. Toisaalta yksi pieni esimerkki tuotti sen 3 pistettä.

Tehtävä 85. Tässä ei ole oikein muuta ratkaisua kuin induktiolla todistaa sekä tapaus a=1 että

tapaus a eri kuin 1. Aluksi annoin vain kaksi pistettä, jos käytännössä teki induktiotodistuksen, mutta ei sitä muodollisesti esittänyt (ja jätti esim. alkuaskeleen pois eikä puhunut induktio-oletuksesta). Muutin kuitenkin arvostelua niin, että tällaisesta esityksestä sai 3- (joka siis käytännössä sama kuin 2). Jos jollekulle jäi se 2 p, niin voi pyytää oikaisua.

Tehtävä 105. Tehtävä on sinänsä triviaali, mutta olikohan kenelläkään tämä täysin oikein.

Ensiksi siis todistetaan induktiolla ”joukonmuodostussääntöjen” suhteen, että S:n alkiot

ovat kolmella jaollisia (3 on; I.O. : x on, siis x+3 …). Toiseksi todistetaan, että jokainen

luku muotoa 3n kuuluu joukkoon S (3 kuuluu, jos 3(n-1) kuuluu, niin 3(n-1) + 3 kuuluu).

Vain yhteen suuntaan esitetystä (induktio)todistuksesta sai 2 p. Muunlaiset todistukset eivät tässä juurikaan pisteitä tuottaneet.

4. kirjalliset.

Tehtävä 69. Tästä vähennettiin useilta yksi piste siitä, että lausekkeen

6*(kokonaisluku + (n^2 + n)/2)

todettiin olevan kuudella jaollinen ilman, että olisi mitenkään perusteltu sitä, että

kokonaisluku + (n^2 + n)/2 on kokonaisluku. Perusteluksi tässä olisi riittänyt toki pelkkä viittaus kirjan esimerkkiin 24. Välikokeissa tilanne on hieman eri.

Tehtävä 75. Samoin kuin aikaisemmin tehtävässä 63: ” Jos joku menetti pisteen, mutta katsoo jokaisen sievennysaskeleensa olevan riittävästi perusteltu, niin ratkaisuaan saa tulla puolustamaan vastaanotolleni ja näin ehkä saada pisteensä takaisin.” Edelleenkään pisteitä ei vähennetty siitä, että esitti aivan turhan pitkän ja monimutkaisen laskun perusteluksi.

Tehtävä 88 tuntui aivan ylivoimaiselta tehtävältä. Tässä siis pitää todistaa esim., että n! = 1 2 … n, kun kertoma määritellään rekursiivisesti. Tai voi vaikka määritellä, että f(n) = 1 2 … 4 ja g(n) = kertoma rekursiivisesti määriteltynä ja todistaa, että f(n) = g(n). Tehtävä muuttuu siis triviaaliksi, kunhan osaa muotoilla todistettavana olevan väitteen oikein.

3. kirjalliset.

Tehtävä 50. Vaikka matematiikassa usein jätetäänkin universaalikvanttori implikaatio- ja ekvivalenssilauseiden edestä pois, niin tällaisessa formalisoinnissa on syytä merkitä kaikki tarvittavat kvanttorit näkyviin. Koska tehtävä oli suhteellisen lyhyt, niin kvanttorin ’kaikille x’

puuttumisesta on vähennetty 1 piste.

Tehtävä 63. Tämänkaltaisessa induktiotodistuksissa on tarkastamisen kannalta ongelmana se, että induktioväitöksestä on luettavissa se, mitä pitää saada lopputulokseksi laskuista. Edellytin, että jokainen lausekkeiden sievennysaskel on ”ilmeinen” eli että välivaiheita on ”riittävästi”. Puuttuvista välivaiheista on vähennetty piste. Jos joku menetti pisteen, mutta katsoo jokaisen sievennysaskeleensa olevan riittävästi perusteltu, niin ratkaisuaan saa tulla puolustamaan vastaanotolleni ja näin ehkä saada pisteensä takaisin. Jotkut olivat saattaneet laskea välivaiheita suttupaperille, jota eivät olleet palauttaneet. Älkää ainakaan tenteissä ja välikokeissa tehkö näin.

Suttupaperin tässä vaiheessa esittämällä ei enää saa takaisin pistettään.

Toinen asia on, että monella oli pitkä ja monimutkainen identiteettiketju vastauksena. Pituus ei siis tässä ole mikään ansio, vaan se, että vastaus on selkeä ja helposti luettavissa. En kuitenkaan antanut

tai poistanut pisteitä tyylikkyydestä.

2. kirjalliset.

Tehtävä 28. Riittää osoittaa, miten negaatio voidaan määritellä falsumin ja implikaation (tai ekvivalenssin). Jos haluaisi täsmällisesti osoittaa, että negaatiota ei voida määritellä esim. falsumin ja konjunktion avulla, niin sitä ei voi tehdä pelkästään esittämällä yhtä totuustaulua eli yhtä esimerkkiä epäonnistuneesta määrittely-yrityksestä.. Tehtävässä ei kuitenkaan edellytetty tällaista todistusta.

Tehtävä 35. Perustelu lauselogiikan avulla on yksinkertaisinta tehdä totuustaululla. Sieventäminenkin hyväksyttiin. Kirjallisissa hyväksyttiin myös muita ratkaisutapoja.

HUOM. Jos käyttää välikokeissa tai tentissä jotain sellaista todistustekniikkaa, jota ei ole

luennoilla esitetty, niin silloin täytyy vastauksen täytyy olla riittävästi selitetty.

Perusteluksi luonnollisen päättelyllä ei riitä mikään esimerkki ko. päättelystä luonnollisen kielen avulla esitettynä (esim. ’sataa tai tuulee’ jne), vaan etsitään tosiaan perustelua (tyyliin ’jos p v q on tosi, niin’). Jos tällaista perustelua ei ollut, niin tehtävästä sai vain 2 p.

Tehtävä 15, lisämoniste. Tehtävä piti tehdä sieventämällä, pelkistä totuustauluista tuli vain 1 p.