Tampereen yliopisto Renkaat ja kunnat Harjoitus 1 (24. 8.) Syksy 2020

1. Ratkaise kompleksilukujen kunnassa yhtälöt

a) z^{3} − 21z^{2} − 46z + 2016 = 0 ja

b) z^{4} + 5z^{2} + 6 = 0.

2. Olkoon a ∈ ℂ ja n ∈ ℤ_{+}. Osoita, että polynomille x^{n} − a^{n} ∈ ℂ[x] saadaan tekijähajotelma

x^{n} − a^{n} = ∏_{k=0}^{n−1}(x − ϵ^{k}a) = (x − a)(x − ϵa) ⋯ (x − ϵ^{n−1}a),

missä ϵ = e^{2πi/n}.

3. Olkoot u, v ∈ ℂ. Todista, että on olemassa sellaiset α, β ∈ ℂ, että

\{ \begin{matrix}α + β = u \\ α · β = v \end{matrix}

ja että pari {α, β} on yksikäsitteinen.

4. Ratkaise toisen asteen yhtälö

x^{2} − 8x + 5 = 0

renkaassa K = (ℤ/89ℤ, +, ·). Onko K kunta?

5. Esitä esimerkki renkaasta R ja toisen asteen R-kertoimisesta yhtälöstä, jolla on vähintään kolme ratkaisua renkaassa R.

6. Oletetaan, että cos 3ϑ = r. Osoita, että kompleksisen yhtälön

4z^{3} − 3z − r = 0

ratkaisut ovat z = cos ϑ, z = cos(ϑ + 2π/3) ja z = cos(ϑ + 4π/3).