Tampereen yliopisto, ITC Tietokonegrafiikan geometria Harjoitus 1 (11. 1.) Kevät 2023

1. Esitä esimerkit kuvauksista f, L_{0}, L_{1}, L_{2}: ℝ^{2} → ℝ^{2}, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

a) f on jatkuva, muttei lineaarikuvaus.

b) L_{0} on lineaarikuvaus, muttei injektio.

c) L_{1} on injektiivinen lineaarikuvaus, jolla ei ole kiintopisteitä origoa lukuun ottamatta, ts. L_{1}(x) ≠ x, kun x ≠ (0, 0).

d) L_{2} on sellainen injektiivinen lineaarikuvaus, että joillakin x, y ∈ ℝ^{2} ∖ {0} pätee |L_{2}(x)|/|L_{2}(y)| ≠ |x|/|y|.

2. Olkoon A: ℝ^{m} → ℝ^{n} euklidisten avaruuksien välinen lineaarikuvaus, U ℝ^{m}:n vektorialiavaruus ja V ℝ^{n}:n vektorialiavaruus. Osoita, että

a) A[U] on ℝ^{n}:n vektorialiavaruus ja

b) A^{−1} [V] on ℝ^{m}:n vektorialiavaruus.

3. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus, jolle dim(V) ≥ 2. Osoita, että on olemassa kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Huomaa, että c ∈ V on eri pisteiden a, b ∈ V kautta kulkevalla suoralla täsmälleen silloin, kun on olemassa t ∈ ℝ, jolle c = ta + (1 − t)b.

4. Miksi euklidisen avaruuden ℝ^{3} osajoukot

T_{0} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 2x + y + z = 15} ja T_{1} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − y + 2z = 9}

ovat tasoja? Mikä on niiden leikkaus? Määritä kaksi pistettä, jotka sijaitsevat leikkauksella T_{0} ∩ T_{1}.

5. Tarkastellaan edelleen edellisen tehtävän joukkoja T_{0} ja T_{1}. Etsi ℝ^{3}:n sellaiset aliavaruudet U_{0} ja U_{1}, että U_{i} on yhdensuuntainen tason T_{i} kanssa, kun i ∈ {0, 1}. Määritä näille aliavaruuksille kannat E_{0} ja E_{1} niin, että leikkauksessa E_{0} ∩ E_{1} on yhteinen vektori.

6. Olkoon E reaalinen vektoriavaruus, K ⊆ E kupera ja L: E → E lineaarikuvaus. (Joukko K on kupera, jos kaikille a, b ∈ K ja t ∈ [0, 1] pätee ta + (1 − t)b ∈ K.) Ovatko L[K] ja L^{−1} [K] välttämättä kuperia?