Tampereen yliopisto, ITC Tietokonegrafiikan geometria Harjoitus 2 (18. 1.) Kevät 2023

1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus ja A ⊆ V. Osoita, että:

a) Jos A on V:n affiini aliavaruus, niin A on suljettu affiinien kombinaatioiden suhteen, ts. kun I ⊆ A on äärellinen ja λ_{v} ∈ ℝ, v ∈ I, niin ∑ _{v∈I} λ_{v}v ∈ A.

b) Jos A sisältää kunkin pisteparinsa yhdysjanan eli on kupera, niin A on suljettu konveksien kombinaatioiden suhteen.

2. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Osoita, että :

a) V:n affiinien aliavaruuksien leikkaus on tyhjä tai affiini aliavaruus.

b) Jos A on affiini aliavaruus ja K on kupera, niin A ∩ K on kupera.

3. Olkoot V ja W reaalisia vektoriavaruuksia ja L: V → W lineaarikuvaus.

a) Todista, että jos B on W:n affiini aliavaruus, niin L^{−1} [B] on joko tyhjä tai affiini aliavaruus. Totea, että tämä merkitsee erityisesti, että lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisujen joukko on affiini aliavaruus, jos ratkaisuja on.

b) Näytä, että jos A on V:n affiini aliavaruus, niin L[A] on W:n affiini aliavaruus.

4. Olkoon E reaalinen vektoriavaruus, K ⊆ E kupera ja L: E → E lineaarikuvaus. Ovatko L[K] ja L^{−1} [K] kuperia?

5. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

a) Totea, että määritelmän mukaan jokaisella V:n suoralla on ainakin kaksi pistettä.

b) Näytä, että kun a, b ∈ V, a ≠ b, niin pisteiden a ja b kautta kulkeva suora on ainoa suora, joka sisältää molemmat pisteet, a:n ja b:n.

6. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus, jolle dim(V) ≥ 2. Suorien ℓ, m ⊆ V sanotaan olevan yhdensuuntaiset, ℓ ∥ m, jos niitä vastaa sama vektoriavaruus U, ts. jos

{x − y | x, y ∈ ℓ} = U = {x′− y′| x′, y′∈ m}.

Todista, että eri suorat ℓ ja m ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun on olemassa sellainen V:n taso T, että ℓ, m ⊆ T ja ℓ ∩ m = ∅.