Tampereen yliopisto, ITC Tietokonegrafiikan geometria Harjoitus 3 (25. 1.) Kevät 2023

1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus, jolle dim(V) ≥ 2. Olkoon ℓ ⊆ V suora ja a ∈ V ∖ ℓ. Olkoon m suora, joka kulkee pisteen a kautta ja jolle m ∩ ℓ = ∅. Osoita, että m on yksikäsitteinen, jos ja vain jos dim(V) = 2.

2. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus, jolle dim(V) ≥ 2. Merkitään pisteiden a ja b kautta kulkevaa suoraa ℓ(a, b):llä. Todista seuraava Pappuksen laki ja piirrä kuva tilanteesta: Olkoot a, b ja c samalla V:n suoralla ja a′, b′ja c′toisella V:n suoralla, jotka leikkaavat. Oletetaan, että ℓ(a, b′) ∥ ℓ(a′, b) ja ℓ(b, c′) ∥ ℓ(b′, c). Tällöin ℓ(a, c′) ∥ ℓ(a′, c).

3. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus ja S ⊆ V joukko, jossa on n + 1 pistettä, missä n ∈ ℕ. Osoita, että on olemassa V:n affiini aliavaruus A, jolle S ⊆ A ja dim(A) ≤ n.

4. Olkoot V ja W reaalisia vektoriavaruuksia ja A V:n affiini aliavaruus. Olkoot f, g: A → W affiineja kuvaus, b ∈ W ja t ∈ ℝ. Todista, että

a) Vakiokuvaus h: A → W, h(x) = b on affiini kuvaus.

b) Summakuvaus f + g: A → W, (f + g)(x) = f(x) + g(x) on affiini kuvaus.

c) Kuvaus tf: A → W, (tf)(x) = tf(x) on affiini kuvaus.

5. Määritä affiini kuvaus f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, jolle f(0, 0) = (2, 2), f(0, 1) = (3, 4) ja f(1, 0) = (4, 3).

6. Esitä esimerkki saman euklidisen avaruuden kahdesta affiinista aliavaruudesta, jotka ovat affiinisti isomorfisia mutteivät yhdensuuntaisia.