Tampereen yliopisto, ITC Tietokonegrafiikan geometria Harjoitus 4 (1. 2.) Kevät 2023

Kaikissa tehtävissä oletetaan, että V on reaalinen vektoriavaruus.

1. Olkoot a, b, c ja d V:n pisteitä, joista mitkään kolme eivät ole samalla suoralla. Osoita, että jos ℓ(a, c) ∩ ℓ(b, d) ≠ ∅, niin pisteet a, b, c ja d ovat samassa tasossa.

2. Osoita V:n välissäolorelaation B seuraavat perusominaisuudet: Kun a, b, c ∈ V, niin seuraavat pitävät paikkansa:

a) B(a, a, b).

b) Jos B(a, b, a), niin a = b.

c) Jos B(a, b, c), niin B(c, b, a).

3. Olkoot a, b, c ∈ V. Osoita, että a, b, c ovat samalla suoralla, jos ja vain jos B(a, b, c), B(b, c, a) tai B(c, a, b).

4. Euklidisessa avaruudessa ℝ^{m} määritellään tunnetusti pistetulo kaavalla x · y = ∑ _{i=0}^{m−1} x_{i}y_{i}, kun x = (x_{0}, …, x_{m−1} ), y = (y_{0}, …, y_{m−1} ) ∈ ℝ^{m}. Olkoot n ∈ ℝ^{m} ∖ {0} ja s ∈ ℝ. Osoita, että

A = {x ∈ ℝ^{m} | x · n = s}

on ℝ^{m}:n affiini aliavaruus.

5. Olkoot m, n, s ja A kuten edellisessä tehtävässä. Todista, että A:n suunta-avaruus

on

U = {x ∈ ℝ^{m} | x · n = 0}.

Osoita myös, että esityksessä A = a + U piste a ∈ A voidaan valita niin, että |a| ≤ |x| kaikilla x ∈ A. Mikä on tällöin |a| eli affiinin avaruuden A etäisyys origosta? (Vektorin x ∈ ℝ^{m} itseisarvo on määritelmän mukaan |x| = \sqrt{x · x}.)

6. Olkoon V äärellisulotteinen reaalinen vektoriavaruus, jolle dim(V) = n ∈ ℤ_{+} ja H sen hypertaso, ts. affiini aliavaruus, jolle dim(H) = n−1. Määritellään V ∖H:n relaatio ∼ seuraavasti:

x ∼ y, jos ja vain jos [x, y] ∩ H = ∅.

Osoita, että ∼ on joukon V ∖ H ekvivalenssirelaatio, jolla on kaksi ekvivalenssiluokkaa. Miten kuvailisit tilannetta?