Tampereen yliopisto, ITC Tietokonegrafiikan geometria Harjoitus 5 (8. 2.) Kevät 2023

Kaikissa tehtävissä oletetaan, että V on reaalinen vektoriavaruus.

1. Olkoot a, b, c, d ∈ V. Oletetaan, että a ≠ b. Osoita, että jos B(a, b, c) ja B(a, b, d), niin B(a, c, d) tai B(a, d, c).

2. Miten monella eri tavalla viisi pistettä voi sijaita euklidisessa tasossa ℝ^{2} välissäolorelaation suhteen? Tässä siis viiden pisteen joukkoja S ⊆ ℝ^{2} ja T ⊆ ℝ^{2} pidetään samanlaisina, jos on olemassa välissäolorelaation vahvasti säilyttävä bijektio f: S → T, ts. kaikilla x, y, z ∈ S pätee

B(x, y, z), jos ja vain jos B(f(x), f(y), f(z)).

3. Olkoon S ⊆ V. Tällöin Aff(S) on V:n affiini aliavaruus.

4. Olkoon I ⊆ V epätyhjä. Osoita, että seuraavat ovat yhtäpitäviä:

a) I on affiinisti riippumaton.

b) Jokaisella x ∈ I joukko {y − x | y ∈ I, y ≠ x} on vapaa.

c) Jollakin x ∈ I joukko {y − x | y ∈ I, y ≠ x} on vapaa.

5. Miksi {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y + z = 1} on taso? Määritä sille affiini kanta.

6. Joukko A sisältäköön ne vektorit (x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{5}, jotka ovat yhtälöryhmän

\{ \begin{matrix}x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 5 \\ 3x_{2} − 2x_{4} = 1 \\ x_{0} + x_{1} + 4x_{2} + x_{3} − x_{4} = 6 \end{matrix}

ratkaisuja. Selitä, miksi A on ℝ^{5}:n affiini aliavaruus ja määritä sen dimensio.