Tampereen yliopisto, ITC Tietokonegrafiikan geometria Harjoitus 6 (15. 2.) Kevät 2023

Tehtäviä on kahdella sivulla.

1. Lineaarialgebrasta tunnetaan seuraava tulos:

Olkoon V vektoriavaruus, I vapaa V:ssä ja S V:n virittäjistö. Oletetaan, että I ⊆ S. Tällöin V:llä on kanta E, jolle I ⊆ E ⊆ S.

Todista vastaava affiinin geometrian tulos: Olkoon A vektoriavaruuden V affiini aliavaruus, I ⊆ A affiinisti riippumaton ja S A:n affiini virittäjistö. Oletetaan, että I ⊆ S. Tällöin A:lla on affiini kanta E, jolle I ⊆ E ⊆ S.

2. Muodosta jokin affiini isomorfismi ℝ^{3}:n tasojen

A = {(x, y, x + y + 3) | x, y ∈ ℝ} ja B = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − y + 3z = 2}

välille.

3. Tarkastellaan projektiivista avaruutta P = P(ℝ^{3}) ja joukkoja

A = {(x, y, z) | z = 1} ja B = {(x, y, z) | x + y + z = 1}.

a) Selitä, miksi A ja B ovat (hyper)tasoja mutteivat kuitenkaan ℝ^{3}:n vektorialiavaruuksia. [B:n suhteen osa tästä käsiteltiin jo edellisessä harjoituksessa.]

b) Esitä esimerkki projektiivisesta pisteestä (a : b : c) ∈ P(ℝ^{3}), joka on sekä A:n että B:n suhteen äärettömyyspiste.

4. Jatkoa edelliseen tehtävään:

c) Esitä esimerkki projektiivisesta pisteestä (a′ : b′ : c′) ∈ P(ℝ^{3}), joka on A:n mutta ei B:n suhteen äärettömyyspiste.

d) Esitä esimerkki projektiivisesta pisteestä (a′′: b′′: c′′) ∈ P(ℝ^{3}), joka on B:n mutta ei A:n suhteen äärettömyyspiste.

5. Joukot

H = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 2x + 3y = 5} ja ℓ = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 4x − y = 0}

ovat molemmat euklidisen tason ℝ^{2} suoria. Tarkastellaan kuitenkin suoraa H euklidisen tason hypertasona ja suoraa ℓ projektiivisen avaruuden P(ℝ^{2}) pisteenä. Esitä ℓ homogeenisten koordinaattien avulla niin, että esityksestä pystyy lukemaan H:n ja ℓ:n leikkauspisteen. Avaruudella P(ℝ^{2}) on yksi ainoa äärettömyyspiste hypertason H suhteen. Mikä se on? Etsi sillekin homogeeninen koordinaattiesitys.

6. Olkoon (K, + ), ·q-alkioinen kunta, missä q on pariton alkulukupotenssi. Olkoon edelleen V K-vektoriavaruus, jolle dim(V) = n ∈ ℕ.

a) Kuinka monta alkiota on missä tahansa V:n affiinissa suorassa?

b) Kuinka monta alkiota on projektiivisessa avaruudessa P(V)?