Tampereen yliopisto, ITC Tietokonegrafiikan geometria Harjoitus 7 (22. 2.) Kevät 2023

Tehtäviä on kahdella sivulla.

1. Merkitään

C = {(x, y, 1) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = 1}

ja

H = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | z = 1}.

Joukko C on tietenkin euklidisen avaruuden ℝ^{3} (hyper)tasoon ℝ^{2} sisältyvä ympyrä. Tarkastellaan edelleen luennoilla esitettyä upotusta j: H → P(ℝ^{3}), j(x, y, 1) = sp({(x, y, 1)}). Määritä ⋃ j[C] = ⋃ _{x∈C} j(x). Mikä geometrinen kappale se on?

2. Luennoilla todistettiin seuraavat äärellisulotteista projektiivista avaruutta P(V) koskevat tulokset:

Kun ℓ, m ∈ P(V), ℓ ≠ m, niin on olemassa yksikäsitteinen projektiivinen suora S ⊆ P(V), joka kulkee pisteiden ℓ ja m kautta.

ja sen jälkeen

Olkoot X ja Y projektiivisen avaruuden P(V) aliavaruuksia. Tällöin

dim(X + Y) = dim(X) + dim(Y) − dim(X ∩ Y).

Osoita, että jälkimmäisestä seuraa itse asiassa edellinen.

3. Olkoot X ja Y projektiivisen avaruuden P(V) aliavaruuksia, missä dim(V) = n ∈ ℕ. Osoita, että

dim(X ∩ Y) ≥ dim(X) + dim(Y) − n.

Näytä, että erityisesti X ∩ Y on epätyhjä, jos dim(X) + dim(Y) ≥ n.

4. Olkoon T projektiivinen taso. Osoita, että on olemassa neljä pistettä, joista mitkään kolme eivät sijaitse samalla T:n projektiivisella suoralla.

5. Projektiiviselle tasolle tunnetaan seuraava aksiomatisointi:

PT1) Kahden projektiivisen pisteen kautta kulkee aina yksikäsitteinen

projektiivinen suora. PT2) Kaksi projektiivista suoraa leikkaa aina yksikäsitteisessä projektii-

visessa pisteessä. PT3) On olemassa neljä projektiivista pistettä, joista mitkään kolme eivät

ole samalla suoralla.

Todista näiden pohjalta seuraavat väitteet:

a) Jokaisella suoralla on vähintään kolme pistettä.

b) Projektiivisessa tasossa on vähintään seitsemän pistettä.

6. Esitä esimerkki projektiivisesta kuvauksesta f: P(ℝ^{2}) → P(ℝ^{2}), jolle f(1 : 0) = (1 : 0), f(0 : 1) = (0 : 1), mutta f ei ole identtinen kuvaus. Mitä arvoja f(1 : 1) voi saada?