Tampereen yliopisto, ITC Euklidinen geometria Harjoitus 1 (8. 3.) Kevät 2023

Nämä ovat esitietoharjoitukset. Tehtäviä on kahdella sivulla.

1. Neliön symmetriaryhmä 𝔻_{8} = (D_{8}, ∘) on helpointa kuvata neliön kärkien a, b, c ja d permutaatioryhmänä, jonka virittävät kierto s = (a b c d) ja peilaus

t = (a b) (c d) . Määritä ryhmän 𝔻_{8} kaikki alkiot.

2. Palauta mieleesi Lagrangen lause ja määritä 𝔻_{8}:n kaikki aliryhmät.

Trigonometriset funktiot sin: ℝ → ℝ ja cos: ℝ → ℝ kiinnittyvät täysin seuraavien ehtojen kautta:

1) cos(0) = 1 ja sin(0) = 0.

2) (sin(x))^{2} + (cos(x))^{2} = 1, kun x ∈ ℝ.

3) Sini ja kosini toteuttavat summakaavat

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) ja
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)

kaikilla x, y ∈ ℝ.

4) lim_{x→0} \frac{sin(x)}{x} = 1.

Seuraavat tehtävät on tarkoitus tehdä näiden ehtojen pohjalta.

3. Todista kosinin parillisuus ja sinin parittomuus, ts. että kaikilla x ∈ ℝ on voimassa

cos(−x) = cos(x) ja sin(−x) = − sin(x).

[Sovella ensin summakaavoja kulmasummaan x + (−x). Ehdon 1 avulla saat yhtälöparin, josta voit ratkaista cos(−x):n ja sin(−x):n arvojen cos(x) ja sin(x) avulla. Huomaa, että yhtälöparin ratkaisemisessa tarvitset ehtoa 2.] 4. a) Todista, että kaikille x, y ∈ ℝ pätee

sin(x) − sin(y) = 2 cos \frac{x + y}{2} sin \frac{x − y}{2} .

b) Todista, että kaikille x ∈ ℝ pätee

1 − cos(x) = 2 ( sin( \frac{x}{2}) ) ^{2} .

5. Esitä Pythagoraan lauseelle perinteinen, pinta-alatarkasteluja käyttävä todistus, joka perustuu seuraaviin kuvioihin.

6. Todista Pythagoraan lauseen käänteislause: Jos kolmion sivujen pituuksille a, b ja c pätee a^{2} + b^{2} = c^{2}, niin kolmio on suorakulmainen.