Tampereen yliopisto, ITC Euklidinen geometria Harjoitus 2 (15. 3.) Kevät 2023

Kolmessa ensimmäisessä tehtävässä todennetaan tiettyjä Tarskin geometrian aksioo- mia standardimallissa (ℝ^{n}, B, ≡ ), missä n ≥ 2.

1. Janankonstruktioaksiooma eli Tarskin aksiooma 4 on:

∀a, b, c, d ∃x (bx ≡ cd ∧ B(a, b, x)).

a) Kirjoita, mitä tämä tarkoittaa standardimallissa eli avaa käytetyt merkinnät.

b) Todista janankonstruktioaksiooma standardimallissa.

2. Todenna kolmas kongruenssiaksiooma

∀a, b, c (ab ≡ cc → a = b)

standardimallissa.

3. Todenna Tarskin aksioomien standardimallissa, että aksiooma 8 eli

∀a, b, c, d (B(a, b, c) ∧ B(a, b, d) ∧ a ≠ b → (B(a, c, d) ∨ B(a, d, c)))

pätee.

Kolmessa seuraavassa tehtävässä sen sijaan lähtökohtana ovat itse aksioomat. Todista tehtävät Tarskin aksioomajärjestelmässä EG^{(2)}.

4. Todista Tarskin aksioomajärjestelmässä, että kaikilla pisteillä a ja b pätee B(a, b, b).

5. Todista janankonstruktioaksiooman avulla, että aksioomat 3 ja 6 voidaan vahventaa muotoon, jossa implikaation tilalla on ekvivalenssi, so. kaikilla pisteillä a, b ja c pätee 3) ab ≡ cc, jos ja vain jos a = b, ja 6) B(a, b, a), jos ja vain jos a = b.

6. Osoita, että Tarskin aksioomajärjestelmässä voidaan todistaa, että kaikille avaruuden pisteille a, b ja c pätee B(a, b, c), jos ja vain jos B(c, b, a). [Vihje: Sovella Paschin aksioomaa.]