Tampereen yliopisto, ITC Euklidinen geometria Harjoitus 3 (22. 3.) Kevät 2023

1. Osoita, että Tarskin aksiooma 7 eli välissäolon sisäinen transitiivisuus pätee stan-

dardimalleissa:

∀a, b, c, d (B(a, b, d) ∧ B(b, c, d) → B(a, b, c))

2. Osoita, että viiden janan aksiooma (Tarskin aksiooma 5) pätee standardimallissa eli todista ko. aksiooma analyyttisen geometrian menetelmin.

3. Todista, että Tarksin aksioomajärjestelmän EG^{(2)} dimensioaksioomat eli tason dimensioaksioomat 10 ja 11 ovat totta euklidisessa tasossa (ℝ^{2}, B, ≡ ).

4. Tarkastellaan avaruutta (ℚ^{2}, B^{∗}, ≡^{∗}), joka saadaan standardimallista (ℝ^{2}, B, ≡ ) rajoittumalla pisteisiin, joiden koordinaatit ovat rationaalisia. Todista pythagoralainen katastrofi eli että avaruudessa (ℚ^{2}, B^{∗}, ≡^{∗}) eivät ole voimassa Tarskin aksioomat EG^{(2)}. Tai tarkemmin: mikä on ensimmäinen Tarskin listan aksiooma, joka ei ole totta avaruudessa (ℚ^{2}, B^{∗}, ≡^{∗})?

5. Todista Tarskin aksioomajärjestelmässä, että jos B(a, c, b), B(a, b, d) ja a ≠ b, niin B(a, c, d).

6. Todista Tarskin aksioomajärjestelmässä, että jos B(c, a, b), B(a, b, d) ja a ≠ b, niin B(c, a, d).