Tampereen yliopisto, ITC Euklidinen geometria Harjoitus 4 (29. 3.) Kevät 2023

Kaksi viimeistä harjoitusta ovat esitietoharjoituksia seuraavan viikon opetusta varten.

1. Todista valitsemallasi tavalla (synteettisesti, kuten Väisälä, tai analyyttisesti), että kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa keskijanat suhteessa 2 : 1.

2. Osoita, että Eukleideen aksiooma on totta standardimallissa.

3. Olkoon ℓ suora ja ≤ sen suunnistus eli suoran pisteiden lineaarijärjestys, jolle B(x, y, z), jos ja vain jos x ≤ y ≤ z tai z ≤ y ≤ x, kun x, y, z ∈ ℓ. Todista Tarskin aksioomajärjestelmässä, että lineaarijärjestyksessä ≤ ei ole pienintä eikä suurinta alkiota.

4. Edellisen tehtävän oletuksilla todista edelleen Tarskin aksioomajärjestelmässä, että suoralla ℓ on täsmälleen kaksi suunnistusta. (Luennoilla osoitetaan, että suoralla on ainakin yksi suunnistus.)

5. Laske z^{2023}, kun z on

a) \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2},

b) \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2},

c) 1 − i.

6. Ratkaise kompleksilukuyhtälö

z^{5} = 1

osoittamalla aluksi, että kun z ≠ 0 ja z ≠ 1, tämä yhtälö on yhtäpitävä yhtälön

( z + \frac{1}{z}) ^{2} + ( z + \frac{1}{z}) − 1 = 0

kanssa. Miten ratkaisu auttaa säännöllisen viisikulmion piirtämisessä harpilla ja viivoittimella?