Tampereen yliopisto, ITC Euklidinen geometria Harjoitus 5 (12. 4.) Kevät 2023

1. Johda viisinkertaisen kulman sinin ja kosinin kaavat laskemalla e^{i(5φ)} = (e^{iφ})^{5} kahdella eri tavalla ja vertailemalla reaali- ja kompleksiosia.

2. [Yo P1974K/7a] Missä xy-tason pisteissä luku z + z^{−1} on reaalinen? (z = x + iy)

3. Kompleksitason pisteet a ja b ovat säännöllisen n-kulmion (n ≥ 3) vierekkäiset kärjet, kun monikulmiota kierretään positiiviseen kiertosuuntaan (a tulee ensin, sitten b). Määritä tämän säännöllisen monikulmion kaikki kärjet.

4. Luennoilla osoitettiin, että jokainen kompleksitason suora ℓ voidaan esittää muo-

dossa

ℓ = \{z ∈ ℂ | az + b\overline{z} + c = 0\}

joillakin parametrien a, b, c ∈ ℂ arvoilla. Tutki käänteistä kysymystä: Millä arvoilla a, b, c ∈ ℂ yo. yhtälön mukainen ℓ on suora? Mikä ℓ on, jos ei suora?

5. Määrää kompleksitason suoran

ℓ = \{z ∈ ℂ | (1 + i)z + (1 − i)\overline{z} + 1 = 0\}

kuva f[ℓ] yhtenevyyskuvauksessa f: ℂ → ℂ,

f(z) = −iz + 3.

6. Kuvausta T: ℂ∖\{0\} → ℂ∖\{0\}, T (z) = 1/\overline{z}, kutsutaan inversioksi (yksikköympyrän suhteen). Mikä on suoran

ℓ = \{z ∈ ℂ | z + \overline{z} = 3\}

kuva T [ℓ] inversiossa T?