Tampereen yliopisto, ITC Euklidinen geometria Harjoitus 6 (19. 4.) Kevät 2023

1. Olkoot t ∈ ℂ ja φ ∈ ℝ. Näytä, että

a) s_{t} ∘ k_{φ} = k_{φ} ∘ s_{te^{−iφ}} ,

b) s_{t} ∘ p = p ∘ st̄ ja

c) k_{φ} ∘ p = p ∘ k_{−φ} .

2. Yhtenevyyskuvaus f: ℂ → ℂ pitää pisteet a, b ∈ ℂ paikallaan, mutta f ≠ id_{ℂ}. Määritä f:n lauseke.

3. Esitä esimerkki tason yhtenevyyskuvauksista f, g: ℂ → ℂ, joille f ∘ g ≠ g ∘ f.

4. Onko olemassa joukko K ⊆ ℂ, jolle Symm(K) = {r_{φ} | φ ∈ ℝ}?

5. Mikä on ellipsin

E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + 4y^{2} = 1}

symmetriaryhmä? Oletetaan tunnetuksi, että ellipsin E symmetriakeskus on origo, joka pysyy näissä symmetrioissa paikoillaan.

6. Esitä esimerkki tasokuviosta K ⊆ ℂ, jonka symmetriaryhmä Symm (K) = (Symm(K), ∘) on kolmen alkion syklinen ryhmä.