Tampereen yliopisto, ITC Euklidinen geometria Harjoitus 7 (26. 4.) Kevät 2023

1. Olkoon K, k′⊆ ℂ. Osoita, että

a) Symm (K) = Symm (ℂ ∖ K),

b) Symm(K ∩ K′) ⊆ Symm(K) ∩ Symm(K′) ja

c) Symm(K ∪ K′) ⊆ Symm(K) ∩ Symm(K′).

2. Olkoon n ∈ ℕ, n ≥ 3. Mikä on säännöllisen n-kulmion symmetriaryhmän koko? (Voidaan tietenkin olettaa, että säännöllisen n-kulmion kärjet ovat yksikköympyrän pisteissä (cos(2πk/n), sin(2πk/n))), k ∈ {0, …, n − 1}.)

3. Määritä allaolevien 12-kulmioiden symmetriaryhmät. Edellisen kärjet ovat pisteissä (±1, ±1), (±1, ±3) ja (±3, ±1), jälkimmäisen pisteissä (±1, 0), (0, ±1), (±3, 0), (0, ±3), (1, 3), (−3, 1), (−1, −3) ja (3, −1). Onko jompikumpi kuvioista symmetrisempi kuin toinen siinä mielessä, että sen symmetriaryhmä sisältää toisen symmetriaryhmän? (Selvyyden vuoksi kuvia ei ole piirretty päällekkäin.)

4. Tarkastellaan yksiulotteista peilausta: Olkoot a, b ∈ ℝ, a ≠ b, ja f, g: ℝ → ℝ, f(x) = 2a − x ja g(x) = 2b − x. Olkoon x_{0} ∈ ℝ ja määritellään rekursiivisesti

x_{n+1} = \{ \begin{matrix}f(x_{n}), & jos n ∈ ℕ on parillinen, \\ g(x_{n}), & jos n ∈ ℕ on pariton. \end{matrix}

Osoita, että jono (x_{n})_{n∈ℕ} hajaantuu.

5. Olkoon K epätyhjä rajoitettu tasokuvio ja p_{ℓ}, p_{ℓ′} ∈ Symm(K), missä p_{ℓ} tarkoittaa peilausta suoran ℓ suhteen. Osoita, että ℓ ja ℓ′ leikkaavat.

6. Olkoon ℓ tason suora. Määritä, millainen symmetriaryhmä suoralla ℓ on eli selvitä, mitä kiertoja, siirtoja, peilauksia ja liukupeilauksia on Symm(ℓ):ssä.