Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 1 (28. 8.) Syksy 2023

Nämä ovat esitietoharjoitukset, joiden ratkomiseen riittävät kandidaatintutkinnossa opitut tiedot ja taidot.

1. Osoita, että joukko-opillinen kuulumisrelaatio ∈ ja sisältyvyysrelaatio ⊆ ovat seuraavassa mielessä täysin riippumattomia toisistaan: Esitä esimerkit joukoista a, b, c ja d sekä A, B, C ja D, joille

a ∈ A ja a ⊆ A,
b ∈ B ja b ⊈ B,
c ∉ C ja c ⊆ C sekä
d ∉ D ja d ⊈ D.

2. Oletetaan, että A, B ja C ovat eri joukkoja. Todista, että on olemassa sellainen korkeintaan kolmialkioinen joukko D, että A ∩ D, B ∩ D ja C ∩ D ovat eri joukkoja.

3. Olkoot A, B ja C joukkoja, joilla A ∪ B = A ∪ C ja A ∩ B = A ∩ C. Osoita, että B = C.

4. Milloin A ∖ B = B ∖ A on voimassa? Esitä esimerkki joukoista A, B ja C, joilla

A ∖ (B ∖ C) ≠ (A ∖ B) ∖ C.

5. Olkoon A = {{a, b}, {{a}, {b}}, {a, {b}}, {{a}, b}, {{a}}, {{b}}, {a}, {b}}. Määritä joukko ⋃ A. Mikä on A, jos a = b? Entä jos a = {b}?

6. Ratkaise joukko-opillinen yhtälö

{P(x), ⋃ x} = {y, Ø}.