Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 10 (6. 11.) Syksy 2023

1. Etsi sisältyvyyden suhteen minimaaliset transitiiviset joukot S ja T, joilla (2, 1) ∈ S ja (2, 1) ⊆ T.

2. Olkoon a joukko.

a) Osoita, että jos a on transitiivinen, niin myös a^{+} = a ∪ {a} on transitiivinen.

b) Osoita, että a on transitiivinen, jos ja vain jos P(a) on transitiivinen.

3.

a) Esitä esimerkki transitiivisesta relaatiosta, joka ei ole joukkona transitiivinen.

b) Esitä esimerkki transitiivisesta joukosta, joka ei ole edes relaatio.

Luentojen mukaan joukon A relaatio S on joukon A tiukka lineaarijärjestys, jos on olemassa sellainen joukon A lineaarijärjestys R, että S = R ∖ (id_{A}). Vastaavasti S on joukon A tiukka (osittainen) järjestys, jos on olemassa sellainen joukon A osittainen järjestys R, että S = R ∖ (id_{A}).

4. Olkoon R joukon A relaatio. Todista, että R on joukon A tiukka osittainen järjestys, jos ja vain jos R on transitiivinen ja irrefleksiivinen.

5. Olkoon R joukon A relaatio. Osoita, että R on joukon A tiukka lineaarijärjestys täsmälleen silloin, kun seuraavat ehdot pätevät:

a) R on transitiivinen,

b) R toteuttaa trikotomian A:ssa: kaikilla x, y ∈ A pätee tasan yksi ehdoista

xRy,  yRx,  x = y.

6. Olkoon n luonnollinen luku, (A, ≤) lineaarijärjestetty joukko ja f: n^{+} → A kuvaus. Osoita, että joukossa ran(f) on suurin alkio.