Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 11 (13. 11.) Syksy 2023

1. Olkoon A äärellinen joukko, ja olkoon f: A → A kuvaus. Osoita, että f on injektio, jos ja vain jos se on surjektio.

2. Olkoon A äärellinen perhe äärellisiä joukkoja. Osoita, että myös ⋃ A on äärellinen.

3. Olkoon R joukon A tiukka lineaarijärjestys. Osoita, että A on äärellinen, jos ja vain jos sekä R että R^{−1} ovat joukon A hyviä järjestyksiä.

4. Olkoon ≤ joukon A osittainen järjestys. Tarkastellaan funktiota F : A → P(A),

F (a) = {x ∈ A | x ≤ a}.

Olkoon S = ran(F). Osoita, että F on rakenteiden (A, ≤) ja (S, ⊆) välinen isomorfismi. [Merkinnässä (S, ⊆) sisältyvyys ajatellaan luonnollisesti rajoitetuksi joukkoon S.]

5. Olkoot K, L ja M joukkoja. Osoita, että seuraavat yhtämahtavuudet pätevät:

a) Jos L ja M ovat erillisiä, niin K × (L ∪ M) ≈ (K × L) ∪ (K × M).

b) ^{M}(K × L) ≈ ^{M}K ×^{M}L.

6. Olkoon H funktio, jolla dom(H) = I on äärellinen, ja H(i) ≠ Ø jokaisella i ∈ I. Osoita käyttämättä valinta-aksioomaa, että on olemassa funktio f, jolla dom(f) = I, ja f(i) ∈ H(i) jokaisella i ∈ I. [Käytä induktiota luvun card(I) suhteen.]