Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 13 (27. 11.) Syksy 2023

1. Vertaa joukkoja ^{ℚ}ℝ ja ^{ℝ}ℚ laskemalla molempien mahtavuudet. Ovatko joukot yhtämahtavia vai onko jompikumpi mahtavampi?

2. Olkoon A ⊆ ω epätyhjä joukko, jolla pätee ⋃ A = A. Osoita, että tällöin A = ω.

3. Olkoon < joukon ℤ_{+} tavallinen tiukka lineaarijärjestys. Olkoon f(n) luvun n alkutekijöiden lukumäärä, kun n ∈ ℤ_{+}. Määritellään joukon ℤ_{+} relaatio R seuraavasti:

mRn, jos ja vain jos joko 1) f(m) < f(n) tai 2) f(m) = f(n) ja m < n.

Osoita, että R on joukon ℤ_{+} hyvä järjestys.

4. Olkoot (A, ≤_{A}), (B, ≤_{B}) ja (C, ≤_{C}) järjestettyjä joukkoja. Todista, että

((A, ≤_{A}) ⊗ (B, ≤_{B})) ⊗ (C, ≤_{C}) ≅ (A, ≤_{A}) ⊗ ((B, ≤_{B}) ⊗ (C, ≤_{C})).

5. Olkoot ⊑_{i} joukon A_{i} ja ⊴_{i} joukon B_{i} osittainen järjestys, missä i ∈ {0, 1}. Oletetaan, että (A_{0}, ⊑_{0}) ≅ (A_{1}, ⊑_{1}) ja (B_{0}, ⊴_{0}) ≅ (B_{1}, ⊴_{1}). Todista, että

(A_{0}, ⊑_{0}) ⊗ (B_{0}, ⊴_{0}) ≅ (A_{1}, ⊑_{1}) ⊗ (B_{1}, ⊴_{1}).

6. Olkoon < kokonaislukujen joukon ℤ tavallinen tiukka järjestys.

a) Osoita, että relaatio

R ={ (x, y) | x, y ∈ ℤ, 0 ≤ x < y }
∪ { (x, y) | x, y ∈ ℤ, y < x < 0 }
∪ { (x, y) | x, y ∈ ℤ, x < 0 ≤ y }

on ℤ:n hyvinjärjestys.

b) Laske E(1), E(−2) ja E(−3), kun E on rakenteeseen (ℤ, R) liittyvä Mostowskin romautus eli epsilonkuvafunktio.