Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 14 (4. 12.) Syksy 2023

1. Oletetaan, että 2 ≤ κ ≤ λ ja λ on ääretön. Osoita, että κ^{λ} = 2^{λ}. (Aiemmilla väliaikaismerkinnöillä kirjoittaen tämä olisi κ ↑ λ = 2 ↑ λ.)

2. Olkoon ⟨A, <⟩ hyvinjärjestetty joukko, jonka ordinaaliluku on α. Olkoon B ⊆ A, ja olkoon β joukon ⟨B, <^{∘}⟩ ordinaaliluku. Osoita, että β ∈ α tai β = α. Esitä esimerkki edellisestä tapauksesta.

3. Sievennä seuraavat ordinaalilausekkeet:

a) (3 + ω) · (ω + 7),

b) 5 · ω + ω · 2,

c) ω · (ω + 2) · (ω + 3).

4.

a) Osoita säännöllisyysaksiooman avulla, että ei ole olemassa joukkoa a, jolla a ∈ a, ja ei ole olemassa joukkoja a ja b, joilla a ∈ b ja b ∈ a.

b) Osoita, että {a, {a}} ≠ {b, {b}}, kun a ≠ b.

5. Olkoon S joukko ordinaaleja. Osoita, että tällöin joko

a) ⋃ S ∉ S ja ⋃ S on rajaordinaali tai

b) ⋃ S ∈ S ja ⋃ S on joukon S suurin alkio.

6. Osoita, että kaikilla joukoilla a ja b pätee

a) rank({a, b}) = max(rank(a), rank(b))^{+},

b) rank(P(a)) = (rank(a))^{+}.