Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 2 (4. 9.) Syksy 2023

1. Tarkastellaan ehtoja

a ∈ b ⊆ c ∗)

ja a ⊆ b ∈ c. †)

Kummasta ehdosta voi johtaa väitteen a ∈ c? Anna esimerkki tilanteesta, jossa hylkäämäsi ehto on voimassa, mutta a ∉ c.

2. Olkoon f = {(0, 5), (1, 5), (2, 7), (4, 9), (6, 5)}.

a) Selitä, miksi f on kuvaus. Onko f^{−1} kuvaus?

b) Määritä f(2), dom(f) ja ran(f).

c) Määritä R = f^{−1} ∘ f. Totea, että R on symmetrinen ja refleksiivinen. [Tällä kurssilla S ∘ T = { (x, z) | ∃y((x, y) ∈ T, (y, z) ∈ S) } riippumatta siitä, ovatko S ja T relaatioita vai funktioita.]

d) Määritä dom(R) ja ran(R). Minkä joukon ekvivalenssirelaatio R on?

3. Olkoon A = {1, {{Ø}}, 2}, missä luonnolliset luvut 1 = {Ø} ja 2 = {Ø, {Ø}} tulkitaan joukoiksi von Neumannin tapaan. Joukko-opissa käytetään yleiselle yhdisteelle usein lyhyttä merkintää ⋃ C = ⋃_{C∈C} C. Määritä seuraavat joukot:

a) P(A),  b) ⋃ A,  c) P(⋃ A),  d) ⋃ P(A),  e) ⋃ ⋃ A.

4. Oletetaan, että x, y ∈ B. Osoita, että tällöin {{x}, {x, y}} ∈ P(P(B)).

5.

a) Osoita, että jos Ø ≠ A ⊆ B, niin ⋂ B ⊆ ⋂ A.

b) Anna esimerkki perheistä A ja B, joilla A ≠ B, mutta ⋂ A = ⋂ B.

6. Joukko-opissa on tapana määritellä luonnolliset luvut 1, 2 ja 3 niin, että 1 = {Ø}, 2 = {Ø, {Ø}} ja 3 = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}. Merkitään lisäksi a = {{Ø}}. Tarkastellaan pareja (x, y), missä x ja samoin y on jokin joukoista 1, 2, 3 tai a. Mille näistä pareista pätee x ∈ y? Entä x ⊆ y?