Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 3 (11. 9.) Syksy 2023

1.

a) Esitä käyttämättä säännöllisyysaksioomaa esimerkki joukosta a, jolle a ≠ {a}. [Myöhemmin kurssilla huomataan, että säännöllisyysaksioomasta seuraa, että kaikille joukoille b pätee b ≠ {b}.]

b) Olkoon x joukko. Esitä esimerkki joukosta y, jolle x ∈ y.

c) Piirrä puumainen (tai verkkomainen) esitys joukon (2, 3) = {{2}, {2, 3}} rakenteesta. Kaaviossa särmä ylhäältä alas kertoo, että alempi joukoista on ylemmän alkio, ja kaavion ylimpänä alkiona on juuri pari (2, 3). Jatka kussakin haarassa kaaviota niin pitkälle, että pääset tyhjään joukkoon saakka.

2. Ratkaise joukko-opillinen yhtälö

P(x) = {x ∪ {Ø}, Ø}.

3. Osoita, että ei ole olemassa joukkoa, jonka alkioita ovat kaikki parit. (Vihje: Palauta tilanne kaikkien joukkojen joukon olemattomuuteen.)

4. Olkoon A perhe ja B joukko. Osoita, että (⋃ A) × B = ⋃{ X × B | X ∈ A }.

5. Mitkä seuraavista väitteistä pätevät yleisesti kaikille relaatioille R?:

a) R[A ∩ B] = R[A] ∩ R[B].

b) R[A ∖ B] = R[A] ∖ R[B].

c) R[A ∪ B] = R[A] ∪ R[B].

Jos väite pätee yleisesti, todista se, muuten esitä vastaesimerkki.

6. Olkoot f ja g kuvauksia. Osoita, että f ∪ g on kuvaus, jos ja vain jos f(x) = g(x) jokaisella x ∈ dom(f) ∩ dom(g).