Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 4 (18. 9.) Syksy 2023

1. Olkoon

S = {({Ø, {Ø}}, Ø), (Ø, {Ø})}.

Onko S relaatio? Onko S kuvaus? Laske seuraavat joukot:

\begin{matrix}a) S(Ø) \\ d) S[\{Ø, \{Ø\}\}] \\ g) S↾Ø \end{matrix}  \begin{matrix}b) S[Ø] \\ e) S^{−1} \\ h) S↾\{Ø, \{Ø\}\} \end{matrix}  \begin{matrix}c) S[\{Ø\}] \\ f) S ∘ S \\ i) ⋃ ⋃ S. \end{matrix}

2. Osoita, että relaatio R on symmetrinen ja transitiivinen, jos ja vain jos R = R^{−1}∘R.

3. Olkoot A ja B joukkoja sekä R ja S relaatioita. Todista seuraavat väitteet:

a) Jos A ⊆ B, niin R[A] ⊆ R[B].

b) (R ∘ S)[A] = R[S[A]].

c) R↾(A ∪ B) = (R↾A) ∪ (R↾B).

4. Olkoon f kuvaus. Osoita, että

a) f ∘ f^{−1} on aina kuvaus ja jopa injektio mutta

b) f^{−1} ∘ f on injektio, jos ja vain jos f^{−1} ∘ f on kuvaus, jos ja vain jos f on injektio. Esitä näiden havaintojen perusteella esimerkki kuvauksesta f, jolle

c) f ∘ f^{−1} ≠ f^{−1} ∘ f.

5. Todista, ettei ole olemassa joukkoa, joka koostuisi täsmälleen pareista (x, y), missä x ∈ y, ts.

{ (x, y) | x ∈ y }

ei ole joukko.

6. Osoita, että seuraava väite on ekvivalentti valinta-aksiooman kanssa aksioomajärjestelmän ZF suhteen:

Jokaisella joukolla A on olemassa funktio F, jolle dom(F) = ⋃ A ja jokaisella x ∈ ⋃ A pätee x ∈ F (x) ∈ A.