Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 5 (25. 9.) Syksy 2023

1. Olkoon A perhe ja B joukko. Osoita, että A ⊆ P(⋃ A) ja B = ⋃ P(B). Esitä esimerkki perheestä A, jolle A ≠ P(⋃ A).

2. Olkoot f: A → B ja g: B → C kuvauksia.

a) Osoita, että jos g ∘ f on injektio, niin f on injektio.

b) Osoita, että jos g ∘ f: A → C on surjektio, niin g: B → C on surjektio.

c) Esitä esimerkki tilanteesta, jossa g ∘ f: A → C on bijektio, vaikka f: A → B ei ole surjektio ja g ei ole injektio.

3. Osoita, että kun A ja B ovat joukkoja, niin on olemassa erilliset A′ ja B′, joille A ≈ A′ ja B ≈ B′. Päteekö valttämättä A ∪ B ≈ A′ ∪ B′?

4. Todista, että kaikille joukoilla A, B ja C pätee:

a) A ≈ A,

b) jos A ≈ B, niin B ≈ A, ja

c) jos A ≈ B ja B ≈ C, niin A ≈ C.

5. Osoita, että jos A ⪯ B, niin P(A) ⪯ P(B). Päteekö yleisesti, että ⋃A ⪯ ⋃B aina kun A ⪯ B?

6. Todista, että jos A ⪯ C ja B ⪯ D, niin A × B ⪯ C × D.