Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 6 (2. 10.) Syksy 2023

1. Olkoon f funktio, A, B joukkoja.

a) Totea, että joukon A kuva käänteisrelaation f^{−1} suhteen on

f^{−1}[A] = { x ∈ dom(f) | f(x) ∈ A },

mikä vastaa tavanomaista alkukuvan määritelmää.

b) Osoita, että

f^{−1}[A ∩ B] = f^{−1}[A] ∩ f^{−1}[B].

c) Esitä esimerkki tilanteesta, jossa

f[A ∩ B] ≠ f[A] ∩ f[B].

2. Joukkojen koon vertailulle on esitettävissä duaalinen versio: Joukko A on heikosti korkeintaan yhtä mahtava kuin B, A ⪯^{∗} B, jos A = Ø tai on olemassa surjektio g: B → A. Todista, että jos A ⪯ B, niin A ⪯^{∗} B. Osoita siis, että kun f: A → B injektio, missä A ≠ Ø, niin on olemassa surjektio g: B → A.

3.

a) Olkoon f : A → B surjektio. Määritellään funktio G : B → P(A) asettamalla G(b) = {x ∈ A | f(x) = b} = f^{−1}[{b}], kun b ∈ B. Osoita, että G on injektio.

b) Näytä (ilman valinta-aksioomaa), että jos X ⪯^{∗} Y, niin X ⪯ P(Y).

4. Olkoon A Dedekind-ääretön joukko ja B ≠ Ø. Osoita, että P(A) ja A × B ovat Dedekind-äärettömiä.

5. Osoita, että jos A ⪯ C, B ⪯ D, 2 ⪯ A ja 2 ⪯ B (eli A ja B sisältävät vähintään kaksi alkiota), niin A ∪ B ⪯ C × D.

6. Milloin relaatio on yhtä aikaa osittainen järjestys ja ekvivalenssirelaatio? Esitä esimerkki osittaisesta järjestyksestä, joka ei ole ekvivalenssirelaatio, ja ekvivalenssirelaatiosta, joka ei ole osittainen järjestys.