Tampereen yliopisto Joukko-oppi Harjoitus 7 (9. 10.) Syksy 2023

1. Kiinnitetään eri alkiot a ja b (Hausdorff itse valitsi arvot a = 1 ja b = 2) ja määritellään alkioiden x ja y Hausdorffin järjestetyn parin olevan

(x, y)_{H} = {{x, a}, {y, b}}.

Osoita, että kaikilla x, y, z ja t pätee

(x, y)_{H} = (z, t)_{H}, jos ja vain jos \{ \begin{matrix}x = z \\ y = t. \end{matrix}

2. Todista, että suljettu väli [0, 1], puoliavoin väli [0, 1[ ja avoin väli ]0, 1[ ovat yhtämahtavia käyttämällä vain ensimmäisen asteen polynomikuvauksia ja Cantorin, Schröderin ja Bernsteinin lausetta. [Reaalilukujen perusominaisuudet saa olettaa tunnetuiksi.]

3. Osoita, että kuvaus f : ℕ × ℕ → ℕ,

f(m, n) = 2^{m}(2n + 1) − 1,

on bijektio. [Tässä tehtävässä puolestaan voi olettaa luonnollisten lukujen aritmeettiset ominaisuudet tunnetuiksi.]

4.

a) Olkoon E joukon A relaatio. Todista, että E on ekvivalenssirelaatio, jos ja vain jos on olemassa kuvaus f, jolle dom(f) = A ja

E = { (x, y) ∈ A × A | f(x) = f(y) }.

[Vihje: Käytä toiseen suuntaan ekvivalenssiluokkia kuvauksen arvoina.]

b) Osoita edellisen tuloksen avulla, että kahden joukon A ekvivalenssirelaation leikkaus on edelleen joukon A ekvivalenssirelaatio. Entä kahden ekvivalenssirelaation yhdiste?

5.

a) Esitä luonnollinen luku 4 joukkona pelkästään aaltosulkeita ja pilkkuja käyttäen.

b) Laske ⋃ 4 ja ⋂ 4.

c) Osoita, että 3 \ 1 = (0, 1).

6. Todista, että luonnollisten lukujen yhteenlasku on liitännäinen: kaikilla m, n, p ∈ ω pätee m + (n + p) = (m + n) + p.