Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 1 (9. 1.) Kevät 2024

Nämä ovat esitietoharjoitukset, jotka perustuvat kurssin esitietovaatimuksiin.

1. Ryhmien (G, ⊙) ja (H, ⊗) karteesinen tulo on rakenne (G × H, ·), jossa

(g, h) · (g′, h′) = (g ⊙ g′, h ⊗ h′),

kun g, g′ ∈ G ja h, h′ ∈ H. Osoita, että (G × H, ·) on ryhmä. Onko se Abelin ryhmä, jos (G, ⊙) ja (H, ⊗) ovat Abelin ryhmiä?

2. Olkoot m, n ∈ ℤ_{+} lukuja, joille syt(m, n) = 1. Todista, että

(ℤ/mnℤ, +) ≅ (ℤ/mℤ, +) × (ℤ/nℤ, +).

3. Olkoon f epimorfismi eli surjektiivinen homomorfismi ryhmästä 𝔾 ryhmään ℍ. Osoita seuraavat väitteet tosiksi:

a) Jos 𝔾 on syklinen ryhmä, niin myös ℍ on syklinen.

b) Jos 𝔾 on Abelin ryhmä, niin myös ℍ on Abelin ryhmä.

4. Määritä lineaarikuvausten A: ℝ^{2} → ℝ^{2}, A(x, y) = (x + y, 2x − 3y) ja B: ℝ^{2} → ℝ^{2}, B(x, y) = (y, x − 5y) matriisit sekä laske A ∘ B.

5. Lineaarikuvausten A, B: ℝ^{3} → ℝ^{3} matriisit ovat

M(A) = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ −1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix} ) ja M(B) = ( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 7 & 5 & −3 \end{matrix} ) .

Onko A injektio? Onko B injektio?

6. Neljän alkion kunnan (K, +, ·) alkiot ovat 0, 1, a ja b. Määritä kunnan yhteen- ja kertolaskutaulut.