Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 10 (19. 3.) Kevät 2024

1. Olkoon K = (K, +, ·) kunta, jolloin K[x] on luonnollisella tavalla K-vektoriavaruus. Toisaalta K[x] = (K[x], +, ·) on kunnan K polynomirengas.

a) Totea, että jokainen K[x]:n ideaali I on K[x]:n aliavaruus. Palauta mieleen, miksi

jollakin p ∈ K[x] pätee

I = { qp | q ∈ K[x] }.

b) Etsi I:lle jokin (algebrallinen) komplementti C. Mitä ovat dim(I), dim(K[x]/I) ja dim(C) (deg(p):n avulla lausuttuna)?

c) Onko jokainen K[x]:n alimoduli kääntäen renkaan K[x] ideaali?

2. Tarkastellaan kaksiulotteista ℤ_{5}-avaruutta V = ℤ_{5}^{2}. Kuinka monta projektiota P: V → V on olemassa? Esitä esimerkki projektiosta P, joka ei ole identtinen kuvaus eikä nollakuvaus eikä kumpikaan koordinaattiprojektioista.

3. Olkoon M moduli ja A ∈ L(M) nilpotentti, ts. A^{n} = 0 jollakin n ∈ ℕ. Osoita, että id_{M} −A ∈ L(M)^{∗} (eli id_{M} −A on kääntyvä L(M):ssä) ja että

(id_{M} −A)^{−1} = id_{M} +A + ⋯ + A^{n−1}.

4. Tarkastellaan ℤ_{7}-vektoriavaruutta V = (ℤ_{7})^{5} ja lineaarikuvausta A: V → V, jolle

A(e_{0}) = e_{1}, A(e_{1}) = e_{2}, A(e_{2}) = e_{0}, A(e_{3}) = e_{4}, A(e_{4}) = e_{3},

missä {e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}} on avaruuden V luonnollinen kanta. Määritä kuvauksen A ominaisarvot ja vastaavat ominaisvektorit.

5. Merkitään A: S → S,

A(x)(n) = \{ \begin{matrix}0, & kun n = 0 \\ x(n − 1), & muuten, \end{matrix}

missä S = ^{ℕ}ℝ on reaalinen vektoriavaruus. Määritä lineaarikuvauksen A pistespektri Pσ(A) ja spektri σ(A).

6. Olkoot V epätriviaali K-vektoriavaruus ja S ⊆ K epätyhjä joukko. Oletetaan, että |S| ≤ dim(V). Todista, että on olemassa lineaarikuvaus A, jolle Pσ(A) = S. [Vihje: Kiinnitä V:lle kanta ja valitse A sopivasti niin, että kantavektoreista tulee ominaisvektoreita.]