Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 11 (26. 3.) Kevät 2024

1. Kun U ja V ovat reaalisen vektoriavaruuden ℝ^{2} eri yksiulotteisia aliavaruuksia, merkitään p_{U,V}:llä projektiota aliavaruudelle U suuntaan V. Merkitään

\begin{aligned}X & = \{ (x, 0) | x ∈ ℝ \}, \\ Y & = \{ (0, y) | y ∈ ℝ \}, \\ D & = \{ (x, x) | x ∈ ℝ \}. \end{aligned}

Tarkastellaan projektioita p, q ∈ {p_{D,X}, p_{D,Y} , p_{X,D}, p_{X,Y} , p_{Y,X}, p_{Y,D}, }.

a) Esitä esimerkki tällaisista projektioista p ja q, joille p ∘ q ei ole projektio.

b) Esitä lisäksi esimerkki tapauksesta, jossa sekä p ∘ q että q ∘ p ovat projektioita, mutta p ∘ q ≠ q ∘ p.

2. Olkoon K = (K, +, ·) kunta. Määritä lineaarikuvauksen A: K[x] → K[x],

A(p) = xp,

pistespektri Pσ(A) ja spektri σ(A). [Huomaa, että x yllä on polynomirenkaan K[x] tuntematon eikä vektori.]

3. Esitä esimerkki ℝ^{3}:n duaalin alkioista x^{∗}, y^{∗}, z^{∗} ∈ (ℝ^{3})^{∗}, joille

x^{∗}(1, 2, 3) = 1, y^{∗}(1, 2, 3) = −2, z^{∗}(1, 2, 3) = 6

ja {x^{∗}, y^{∗}, z^{∗}} on vapaa.

4. Olkoon M moduli ja x^{∗}, y^{∗} ∈ M^{∗}. Oletetaan, että Ker(x^{∗}) = Ker(y^{∗}). Osoita, että järjestetty pari (x^{∗}, y^{∗}) on sidottu duaalissa M^{∗}.

5. Olkoot V ja Z K-vektoriavaruuksia ja F: V ×Z → K. Millä ehdolla F on yht’aikaa sekä lineaarinen ja bilineaarinen? (Toisaalta karteesinen tulo V ×Z on K-vektoriavaruus, toisaalta kuvauksen voi tulkita olevan kahden muuttujan kuvaus.)

6. [Vapaiden modulien teoriaa 3] Jatketaan tehtävien 7.6 ja 9.6 teemaa: Olkoon R = (R, +, ·) vaihdannainen rengas ja L vapaa R-moduli. Oletetaan tunnetuiksi seuraavat faktat. Fakta 1: Jokaisella epätriviaalilla renkaalla on maksimaalinen ideaali. Fakta 2: R:n ideaali I on R:n maksimaalinen, jos ja vain jos tekijärengas R/I on kunta.

Fakta 1 on suoraviivainen Zornin lemman seuraus. Fakta 2 käydään läpi Algebra 2:n kurssilla. Yhdistele näitä faktoja aiempien harjoitustehtävien tuloksiin ja todista, että modulin L kannat ovat keskenään yhtämahtavia.