Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 12 (9. 4.) Kevät 2024

1. Näytä, että ℤ-moduleilla ℝ ja ℚ on triviaali duaali.

2. Olkoot U ja V epätriviaaleja K-vektoriavaruuksia.

a) Olkoot edelleen c ∈ K, u ∈ U ja v ∈ V. Oletetaan, että c ≠ ±1, u ≠ ¯0 ja v ≠ ¯0. Todista, että {(cu, v), (u, cv)} on vapaa U × V:ssä.

b) Osoita, että on olemassa lineaarinen muoto A: U × V → K, joka ei toteuta ehtoa

A(ax, y) = A(x, ay)

kaikilla a ∈ K, x ∈ U ja y ∈ V.

3. Olkoot L_{0}, L, M_{0}, M ja N R-moduleita, A: L_{0} → L ja B: M_{0} → M lineaarikuvauksia. Olkoon edelleen f: L × M → N bilineaarikuvaus. Osoita, että kuvaus g: L_{0} × M_{0} → N,

g(x, y) = f(A(x), B(y))

on bilineaarikuvaus.

4. Tarkastellaan reaalisen vektoriavaruuden ℝ^{3} aliavaruutta U = sp({(3, 2, −1)}). Määritä kohtisuoralle avaruudelle U^{∘} jokin kanta. Esitä kantavektorit koordinaattimuotojen avulla.

5. Osoita, että S^{∘} = (sp(S))^{∘}, kun S on modulin M osajoukko, missä modulin M kerroinrenkaan oletetaan olevan vaihdannainen.

6. Olkoot U ja Z vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Näytä, että

(U ∩ Z)^{∘} = U^{∘} + Z^{∘}.