Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 13 (16. 4.) Kevät 2024

1. Olkoon V vektoriavaruus ja A ∈ L(V) nilpotentti. Näytä, että ^{t}A on nilpotentti.

Tarkastellaan bilineaarikuvausta f: M × N → P, missä M, N ja P ovat saman vaihdannaisen renkaan (R, +, ·) moduleita. Bilineaarikuvausta f vastaava vasemmanpuoleinen nollamoduli on

N_{0}(f) = { x ∈ M | Kaikilla y ∈ N päteef(x, y) = 0 }.

Vastaava oikeanpuoleinen nollamoduli on

N_{1}(f) = { y ∈ N | Kaikilla x ∈ M päteef(x, y) = 0 }.

Bilineaarikuvauksen f sanotaan olevan degeneroitumaton, jos nollamodulit ovat triviaaleja moduleja, ts. N_{0}(f) = N_{1}(f) = {¯0}, muuten degeneroitunut.

2. Olkoot f: M × N → P R-bilineaarikuvaus kuten yllä. Osoita, että N_{0}(f) on modulin M ja N_{1}(f) modulin N alimoduli.

3. Olkoon V K-vektoriavaruus ja U sen aito aliavaruus. Tarkastellaan luonnollista bilineaarikuvausta f: V × V^{∗} → K,

f(x, x^{∗}) = ⟨x, x^{∗}⟩.

Osoita, että f↾(U × V^{∗}) on degeneroitunut bilineaarikuvaus.

4. Olkoon f: M × N → R degeneroitumaton bilineaarimuoto, missä kerroinrengas on vaihdannainen. Todista, että moduli N uppoaa duaaliin M^{∗} lineaarikuvauksella.

5. Tarkastellaan euklidisen tason ℝ^{2} tensorituloa itsensä kanssa. Osoita (vetoamalla kuvauksen ⊗: ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ^{2} ⊗ ℝ^{2} bilineaarisuuteen), että kaikilla vektoreilla x, y ∈ ℝ^{2} tensoritulon x ⊗ y voi kirjoittaa muotoon

x ⊗ y = λ_{0,0}(e_{0} ⊗ e_{0}) + λ_{0,1}(e_{0} ⊗ e_{1}) + λ_{1,0}(e_{1} ⊗ e_{0}) + λ_{1,1}(e_{1} ⊗ e_{1}).

[Luennoilla esitetään tämän tuloksen yleinen versio.]

6. Tarkastellaan ℤ_{3}-vektoriavaruutta V = ℤ_{3}^{2}. Merkitään S = ^{V ×V} ℤ_{3} ja S_{1} = sp(C_{1}), missä

\begin{matrix}C_{1} = & \{ (ax) ⊠ y − a(x ⊠ y) | a ∈ ℤ_{3}, x, y ∈ V \} \\ ∪ \{ (x ⊠ (ay) − a(x ⊠ y) | a ∈ ℤ_{3}, x, y ∈ V \}, \end{matrix}

missä merkintää ⊠ käytetään kuten luennoilla tensoritulon määritelmässä. Määritä kustakin vektoriavaruudesta V, S, S_{1} ja S/S_{1} alkioiden lukumäärät ja dimensiot. Miksi S/S_{1} ≅ V̸ ⊗ V?