Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 14 (23. 4.) Kevät 2024

1. Olkoon V vektoriavaruus, y ∈ V, x^{∗} ∈ V^{∗}. Asetetaan

A: V → V, A(x) = x^{∗}(x)y.

Näytä, että A on lineaarikuvaus. Millä ehdolla A on projektio?

2. Osoita, että ℤ-modulien ℤ_{2019} ja ℤ_{2024} tensoritulolle pätee ℤ_{2019} ⊗ ℤ_{2024} = {¯0}. (Usein tensoritulo kirjoitetaan epäselvyyksien välttämiseksi niin, että merkinnästä ilmenee kerroinrengas, ts. kirjoitetaan ℤ_{2019} ⊗_{ℤ} ℤ_{2024} = ℤ_{2019} ⊗ ℤ_{2024}.) [Vihje: Huomaa tensoritulon bilineaarisuus.]

3. Olkoon I ja J joukkoja sekä (K, +, ·) kunta. Määritellään kuvauksille x: I → K ja y: J → K funktionaalinen tensoritulo

x ⊗_{f} y: I × J → K, (x ⊗_{f} y)(i, j) = x(i)y(j).

Olkoon U vektoriavaruuden ^{I}K ja olkoon V vektoriavaruuden ^{J}K aliavaruus. Näille vektoriavaruuksille funktionaalinen tensoritulo määritellään vastaavasti

U ⊗_{f} V = sp({ x ⊗_{f} y | x ∈ U, y ∈ V }).

Todista, että

U ⊗_{f} V ≅ U ⊗ V.

4. Tarkastellaan reaalista vektoriavaruutta V = ℝ^{3} ja tensoritulon V ⊗ V tensoria

t = e_{0} ⊗ e_{0} + e_{0} ⊗ e_{1} + e_{1} ⊗ e_{0} − e_{1} ⊗ e_{2} − e_{2} ⊗ e_{1} − e_{2} ⊗ e_{2},

missä {e_{0}, e_{1}, e_{2}} on avaruuden V luonnollinen kanta. Määritä tensorin t aste.

5. (Shakkilaudan mustat ruudut) Tarkastellaan ℤ_{2}-vektoriavaruutta V = ℤ_{2}^{I}, missä I = {1, …, 8}. Sillä on luonnollinen kanta E = { e_{i} | i ∈ I }. Mikä on tensorin

t = ∑_{{(i,j)∈I×I, \atop 2 | i+j}} e_{i} ⊗ e_{j} ∈ V ⊗ V

aste?

6.

a) Esitä (1, 1) ⊗ (−1, 5) + (1, −3) ⊗ (−1, 3) tensoritulon ℝ^{2} ⊗ ℝ^{2} luonnollisen kannan {e_{0} ⊗ e_{0}, e_{0} × e_{1}, e_{1} ⊗ e_{0}, e_{1} ⊗ e_{1}} lineaarikombinaationa, missä e_{0} = (1, 0) ja e_{1} = (0, 1).

b) Esitä luonnollisen kannan lineaarikombinaationa t ∧ t, kun t = (e_{0} ∧ e_{1}) − (e_{2} ∧ e_{3}), missä {e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}} on ℝ^{4}:n luonnollinen kanta.