Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 2 (16. 1.) Kevät 2024

1. Olkoon (R, +, ·) rengas. Todista, että kaikilla a ∈ R pätee 0 · a = a · 0 = 0.

Renkaan (R, +, ·) alkiota t kutsutaan kääntyväksi, jos on olemassa u ∈ R, jolle tu = ut = 1 (ts. t^{−1} on olemassa). R:n kääntyvien alkioiden joukkoa merkitään R^{∗}:llä.

2. Määritä renkaan (ℤ/126ℤ, +, ·) kääntyvien alkioiden joukko.

3. Esitä esimerkki

a) ℝ^{2}:n osajoukosta, joka on suljettu skalaarilla kertomisen mutta ei yhteenlaskun suhteen,

b) ℝ^{2}:n osajoukosta, joka on suljettu yhteenlaskun mutta ei skalaarilla kertomisen suhteen.

4. Esitä esimerkki sellaisista Abelin ryhmästä (M, +) ja vähintään kaksialkioisesta renkaasta (R, +, ·), että M:ää ei voi varustaa skalaarikerronnalla niin, että siitä muodostuisi R-moduli.

5. Olkoon (G, +) Abelin ryhmä ja

H = { f: G → G | f on ryhmähomomorfismi }.

Määritellään skalaarikerronta niin, että fx = f(x), kun f ∈ H ja x ∈ G. Osoita, että näin G:stä saadaan H-moduli.

6. Olkoon X joukko. Kun A, B ⊆ X, merkitään

A△B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A).

Osoita, että (P(X), △) on Abelin ryhmä ja että P(X):stä tulee ℤ/2ℤ-vektoriavaruus, kun se varustetaan skalaarikerronnalla

¯1 · A = A, ¯0 · A = Ø,

kun A ∈ P(X), missä on merkitty n̄ = n + 2ℤ, kun n ∈ {0, 1}.