Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 3 (23. 1.) Kevät 2024

1. Olkoon R = (R, +, ·) vaihdannainen rengas ja K = (K, +, ·) kunnan L = (L, +, ·) alikunta. Osoita tosiksi seuraavat faktat:

a) Polynomirengas R[x] on R-moduli, kun skalaarikerronta tulkitaan luonnollisella tavalla.

b) L on K-vektoriavaruus, kun skalaarikerronta tulkitaan luonnollisella tavalla. Onko kohdassa a mahdollista, että av = 0 joillakin a ∈ R ∖ {0} ja v ∈ R[x] ∖ {0}?

2. Osoita, että euklidinen avaruus ℝ^{n} voidaan varustaa skalaarikerronnalla niin, että siitä tulee M_{n}(ℝ)-moduli, missä (M_{n}(ℝ), +, ·) on reaalisten n × n-matriisien muodostama rengas ja (ℝ^{n}, +) on luonnollisella yhteenlaskullaan varustettu Abelin ryhmä.

3. V = ℤ_{3}^{2} on luonnollisella tavalla ℤ_{3}-vektoriavaruus, jossa on 9 vektoria. Kuinka moni osajoukko S ⊆ V virittää sen?

4. Tarkastellaan reaalista vektoriavaruutta S = ^{ℕ}ℝ. Mitkä seuraavista S:n osajoukoista ovat sen vektorialiavaruuksia:

U_{1} = { (a_{k})_{k∈ℕ} ∈ S | sarja ∑_{k=0}^{∞} a_{k} hajaantuu },
U_{2} = { (a_{k})_{k∈ℕ} ∈ S | a_{k} = a_{0}, kun k on alkuluku },
U_{3} = { (a_{k})_{k∈ℕ} ∈ S | a_{k} = 0, kun sin k > 0 }?

5. Onko joukko {sin, cos, exp}

vapaa reaalisessa vektoriavaruudessa ^{ℝ}ℝ? Tässä sin ja cos ovat tietenkin tuttuja trigonometrisiä kuvauksia ℝ → ℝ ja exp on eksponenttifunktio exp: ℝ → ℝ, exp(x) = e^{x}.

6. Olkoon V epätriviaali K-vektoriavaruus, missä kerroinkunta (K, +, ·) on ääretön. Todista, että V ei ole äärellisen monen aidon aliavaruutensa yhdiste.