Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 4 (30. 1.) Kevät 2024

1. Osoita, että ℤ-moduli ℚ ei ole äärellisesti viritetty.

2. Olkoot S ja T vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Näytä, että S ∪ T on V:n aliavaruus, jos ja vain jos S ⊆ T tai T ⊆ S.

3. Olkoon X joukko. Osoita, että on olemassa sellainen perhe B ⊆ P(X), että jokaista A ⊆ X vastaa yksikäsitteinen äärellinen F ⊆ B, jolle on voimassa seuraavaa:

a ∈ A, jos ja vain jos parittoman monella F ∈ F pätee a ∈ F.

[Vihje: Tarkastele potenssijoukkoa P(X) sopivana vektoriavaruutena.]

4. Onko joukko

{id_{ℝ}, id_{ℝ} +1, | id_{ℝ} |}

vapaa reaalisessa vektoriavaruudessa ^{ℝ}ℝ?

5. Millä arvoilla c ∈ ℚ pätee, että ℚ-vektoriavaruuden ℚ^{3} jono

((c, 1, 0), (1, c, 1), (0, 1, c))

on vapaa?

6. Osoita, että vapaudella on K-vektoriavaruudessa V seuraavat perusominaisuudet: Olkoot A, B ⊆ V.

1) Ø on vapaa.

2) Jos A ⊆ B ja B on vapaa, niin A:kin on vapaa.

3) A on vapaa, jos ja vain jos kaikille äärellisille A_{0} ⊆ A pätee, että A_{0} on vapaa.

4) Jos A, B ⊆ V ovat vapaita ja |A| < |B|, niin on olemassa sellainen x ∈ B ∖ A, että A ∪ {x} on vapaa.