Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 5 (6. 2.) Kevät 2024

1. Todista, että ääretönulotteisella K-vektoriavaruudella V on olemassa aito aliavaruus U, jolle dim(U) = dim(V).

2. Olkoon p alkuluku. Tunnetusti ℤ_{p}-vektoriavaruudella V = (ℤ_{p})^{3} on kanta E = {e_{0}, e_{1}, e_{2}}, missä e_{0} = (1, 0, 0), e_{1} = (0, 1, 0) ja e_{2} = (0, 0, 1). Merkitään

E′ = {e′_{0}, e′_{1}, e′_{2}},

missä e′_{i} = (1, 1, 1) − e_{i}, i ∈ {0, 1, 2}.

a) Millä alkuluvuilla p pätee, että E′ on V:n kanta?

b) Kun p = 3, sovella vaihto-ominaisuuden seurauksia sellaisen jonon (E_{0}, E_{1}, E_{2}, E_{3}) muodostamiseksi, että kukin E_{i} on V:n kanta, E_{0} = E, E_{3} = E′ ja E_{i+1} ∖ E_{i} on yksiö, kun j ∈ {0, 1, 2}.

3. Esitä esimerkki modulista, jolla on äärellinen kanta mutta jonka kaikki virittäjistöt eivät sisällä kantaa.

4. Olkoot L ja M R-moduleita, ¯0_{L} ja ¯0_{M} niiden nolla-alkiot sekä A: L → M lineaarikuvaus. Osoita, että A(¯0_{L}) = ¯0_{M} ja A(−x) = −Ax, kun x ∈ L,

a) vetoamalla siihen, että A on ryhmähomomorfismi,

b) käyttämällä hyväksi lineaarikuvausten skaalaussääntöä A(cx) = cAx, kun c ∈ R ja x ∈ L.

5. Olkoon C = C(ℝ, ℝ) = { f | f: ℝ → ℝ on jatkuva } ja A: C → C,

Ax(t) = ∫_{0}^{t} e^{s}x(s)ds.

Näytä, että A on lineaarikuvaus. Onko A injektio? Onko A: C → C surjektio?

6. Olkoon A: M → M R-lineaarikuvaus ja y_{0} ∈ M. Osoita, että yhtälöllä A(x) = y_{0} joko ei ole lainkaan ratkaisuja tai x_{0} on yksi ratkaisu ja kaikkien ratkaisujen joukko on x_{0} +Ker(A) = { x_{0} +x | x ∈ Ker(A) }. Esitä kummastakin tapauksesta esimerkki, joissa käytetään samaa lineaarikuvausta.