Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 6 (13. 2.) Kevät 2024

1. Tarkastellaan ℚ-vektoriavaruutta ℝ. ((ℚ, +, ·) on kunnan (ℝ, +, ·) alikunta, joten ℝ on luonnollisella tavalla ℚ-vektoriavaruus.) Tiedetään, että ℝ:llä on olemassa kanta, olkoon yksi tällainen E. Voiko E olla numeroituva eli voiko olla olemassa injektio f: E → ℕ?

2. Olkoon (R, +, ·) vaihdannainen rengas, n ∈ ℕ, n ≥ 3 ja P_{n} = { p ∈ R[x] | deg(p) < n }. Miksi P_{n} on R[x]:n R-alimoduli? Asetetaan A: P_{n} → P_{n},

A(p) = p − p(0)(1 + x + x^{2}).

Näytä, että A on lineaarikuvaus. Mikä on rg(A) = dim(Im(A))?

3. Olkoon (K, +, ·) kunta, jolloin K[x] on luonnollisella tavalla K-vektoriavaruus. Tarkastellaan K[x]:n aliavaruuksia P_{n} = { p ∈ K[x] | deg(p) < n }, kun n ∈ ℕ. Merkitään

U = { p ∈ P_{5} | p(1) = p(3) }.

Näytä, että myös U on P_{5}:n aliavaruus. Määritä tarkasteltavien aliavaruuksien dimensiot eli dim(U) ja dim(P_{n}), kun n ∈ ℕ.

4. Olkoon A: U → V K-lineaarikuvaus ja E vektoriavaruuden U kanta.

a) Osoita, että jos A ei ole injektio, niin jono (A(e))_{e∈E} ei ole vapaa. Voiko A[E] olla vapaa?

b) Näytä, että jos A ei ole surjektio, niin A[E] ei ole virittäjistö.

5. Olkoon p alkuluku ja m, n ∈ ℕ. Kuinka monta ℤ/pℤ-lineaarikuvausta A: (ℤ/pℤ)^{m} → (ℤ/pℤ)^{n} on olemassa?

6. Esitä esimerkki vektoriavaruudesta V ja lineaarikuvauksesta A: V → V, joille Ker(A) ≠ {¯0} ja Im(A) = V.