Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 7 (20. 2.) Kevät 2024

1. Olkoot V ja Z K-vektoriavaruuksia, x ∈ V ∖ {¯0} ja z ∈ Z. Todista, että on olemassa sellainen lineaarikuvaus A: V → Z, että Ax = z.

2. Olkoon s = ^{ℕ}ℝ. Merkitään e_{k}: ℕ → ℝ,

e_{k}(i) = \{ \begin{matrix}1, & kun k = i \\ 0, & muuten, \end{matrix}

ja y:llä vakiojonoa y: ℕ → ℝ, y(i) = 1. Osoita, että avaruudella s on olemassa sellainen lineaarinen automorfismi A, että jokaisella k ∈ ℕ A(e_{k}) = e_{k} ja A(y) = y + 24e_{7}.

3. Esitä esimerkki ℝ^{4}:n aidoista epätriviaaleista aliavaruuksista U, U′, V ja V′, joille ℝ^{4} = U ⊕ V ja ℝ^{4} = U′ + V′, mutta jälkimmäinen summa ei ole suora.

4. ℚ on luonnollisella tavalla ℤ-moduli, sillä (ℚ, +) on Abelin ryhmä. Osoita, että modulia ℚ ei voi esittää suorana summana ℚ = L_{0} ⊕ L_{1}, missä L_{0} ja L_{1} ovat aitoja epätriviaaleja alimoduleja, ts. {0} ⊊ L_{i} ⊊ ℚ, kun i = 0, 1.

5. Tarkastellaan avaruuden C(ℝ, ℝ) = { x: ℝ → ℝ | x jatkuva } aliavaruuksia

U = { x ∈ C(ℝ, ℝ) | x(0) = 0 } ja Z = { x ∈ C(ℝ, ℝ) | ∫_{0}^{1} x(t) dt = 0 }.

a) Osoita, että C(ℝ, ℝ) = U + Z. Onko ko. summa suora?

b) Näytä, että on olemassa äärellisulotteinen C(ℝ, ℝ):n aliavaruus U_{1}, jolle C(ℝ, ℝ) = U_{1} ⊕ Z.

6. [Vapaiden modulien teoriaa 1] Olkoon (R, +, ·) vaihdannainen rengas, I sen ideaali ja L vapaa R-moduli. Kiinnitetään L:lle kanta E. Merkitään

IL = { rx | r ∈ I, x ∈ L } ja M = sp(IL).

Olkoon x ∈ L ja x = ∑_{e∈E} λ_{e}e sen yksikäsitteinen esitys kannan E vektorien lineaarikombinaationa. Osoita, että x ∈ M täsmälleen silloin, kun jokaisella e ∈ E pätee λ_{e} ∈ I.