Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 8 (5. 3.) Kevät 2024

1. Olkoot S, T ja U vektoriavaruuden V aliavaruuksia, joille U ⊆ S. Todista modulaarisääntö

S ∩ (T + U) = (S ∩ T) + U.

2. Olkoon M yksinkertainen moduli eli moduli, jonka ainoat alimodulit ovat {¯0} ja M. Olkoon A: M → M lineaarikuvaus, joka ei ole nollakuvaus.

a) Näytä, että A: M ≅ M.

b) Onko ℤ yksinkertainen ℤ-moduli?

c) Esitä esimerkki yksinkertaisesta modulista, joka ei ole triviaali moduli.

3. Olkoon W äärellisulotteinen vektoriavaruus, jolle dim(W) = n, sekä k, l ∈ ℕ lukuja, joille k + l = n. Todista, että vektoriavaruuden W voi esittää muodossa W = U ⊕ V, missä dim(U) = k ja dim(V) = l.

4. Tarkastellaan ℤ-modulia ℤ × ℤ ja sen alimodulia M = sp({(2, 1), (−1, 2)}). Osoita, että tekijämoduli (ℤ × ℤ) /M on äärellinen ja määritä sen vektorisumman yhteenlaskutaulu.

5. Olkoon p alkuluku ja k, n ∈ ℕ, missä k ≤ n. Olkoon U ℤ_{p}-vektoriavaruuden V = (ℤ_{p})^{n} k-ulotteinen aliavaruus.

a) Kuinka monta alkiota on U:ssa?

b) Kuinka monta alkiota on tekijäavaruudessa V/U? Mikä on dim(V/U)?

6. Olkoot U ja V K-vektoriavaruuksia. Todista, että

dim(U × V) = dim(U) + dim(V)

a) esittämällä U ×V sopivalla tavalla suorana summana ja vetoamalla suoran summan dimensiokaavaan,

b) muodostamalla karteesiselle tulolle U × V kanta (eli oleellisesti ottaen purkamalla kohdan a todistus).