Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoitus 9 (12. 3.) Kevät 2024

1. Tarkastellaan reaalisten polynomifunktioiden reaalista vektoriavaruutta P ja sen aliavaruuksia

U = { x ∈ P | x(0) = x′′(0) = 0 } ja
Z = { x ∈ P | kaikilla t ∈ ℝ pätee 2tx′′(t) − x′′(t) = 0 }.

Onko Z äärellisulotteinen? Onko P = U ⊕ Z?

2. Olkoon (G, +) äärellinen Abelin ryhmä ja g ∈ G. Totea, että ehto A(1) = g määrää yksikäsitteisen lineaarikuvauksen A: ℤ → G. Millä ehdolla Im(A) = G? Homomorfialauseen nojalla ℤ/ Ker(A) ≅ Im(A). Miten |ℤ/ Ker(A)| määräytyy ryhmäalkiosta g?

3. Olkoon U vektoriavaruuden V aliavaruus. U:ta kutsutaan V:n hypertasoksi, jos dim(V/U) = 1. Todista, että U on V:n hypertaso, jos ja vain jos U on V:n maksimaalinen aito aliavaruus.

4. Olkoon A: U → V K-vektoriavaruuksien välinen lineaarikuvaus. Olkoon U_{0} U:n ja V_{0} V:n aliavaruus. Oletetaan, että A[U_{0}] ⊆ V_{0}. Osoita, että on olemassa yksikäsitteinen kuvaus Ã: U/U_{0} → V/V_{0}, jolle Ã ∘ p_{E} = p_{F} ∘ A, missä p_{E}: U → U/U_{0} ja p_{F}: V → V/V_{0} ovat kanoniset projektiot.

5. Todista seuraava modulien isomorfialause: Olkoon N moduli, M sen alimoduli ja L edelleen M:n alimoduli. Tällöin

(N/L) / (M/L) ≅ N/M.

[Vihje: Sovella modulien homomorfialausetta.]

6. [Vapaiden modulien teoriaa 2] Tarkastellaan samaa tilannetta kuin tehtävässä 7.6: Olkoon (R, +, ·) vaihdannainen rengas, I sen ideaali, L vapaa R-moduli, jolla on kanta E, sekä M = sp(IL). Luentojen mukaan L/M on R-moduli, mutta L/M:n voi tulkita myös R/I-moduliksi, kun skalaarikerronta määritetään luonnollisella säännöllä

(r + I)(x + M) = rx + M,

kun x ∈ L ja r ∈ R.

a) Näytä, että L/M:stä näin saadaan todella R/I-moduli.

b) Oletetaan, että I on aito ideaali eli I ⊊ R. Todista, että L/M on vapaa R/I-moduli

ja sillä on kanta

E′ = { e + M | e ∈ E }.