Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoituksen 3 ratkaisuja Kevät 2024

Tehtävien ratkaisut on muokattu Ville Puuskan tekemistä.

Tehtävä 1. a) Tietenkin (R[x], + ) on Abelin ryhmä, koska polynomirengas (R[x], + , ·) on rengas. Riittää siis osoittaa, että modulin neljä laskulakia pätevät. Olkoot siis f, g ∈ R[x] ja r, s ∈ R. Kirjoitetaan f = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n} ja g = b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{m}x^{m}.

1) Olkoon k = max{m, n} ja tulkitaan a_{i} = 0 ja b_{j} = 0, kun i > n ja j > m. Nyt

r(f + g) = r(a_{0} + b_{0}) + r(a_{1} + b_{1})x + ⋯+ r(a_{k} + b_{k})x^{k}
= ra_{0} + ra_{1}x + ⋯+ ra_{n}x^{n} + rb_{0} + rb_{1}x + ⋯+ rb_{m}x^{m}
= rf + rg,

2) (r + s)f = (r + s)a_{0} + (r + s)a_{1}x + ⋯+ (r + s)a_{n}x^{n} = ra_{0} + ra_{1}x + ⋯+ ra_{n}x^{n} + sa_{0} + sa_{1}x + ⋯+ sa_{n}x^{n} = rf + sf

3) r(sf) = r(sa_{0} + sa_{1}x + ⋯+ sa_{n}x^{n}) = rsa_{0} + rsa_{1}x + ⋯+ rsa_{n}x^{n} = (rs)f

4) 1f = 1a_{0} + 1a_{1}x + ⋯+ 1a_{n}x^{n} = a_{0} + a_{1}x + ⋯+ a_{n}x^{n} = f

b) Vektoriavaruuden neljä laskulakia pätevät, koska skalaarikertominen on yksinkertaisesti kunnan K kertolasku, jolloin vektoriavaruuden laskulait ovat osa renkaan laskulaeista. Siis K on L-vektoriavaruus.

Jos rengas R ei ole kokonaisalue, niin on olemassa a ∈ ℝ \ {0} ja v ∈ R[x] \ {0} s.e. av = 0. Jos esimerkiksi valitaan R = ℤ_{4}, niin 2 + 4ℤ ∈ ℤ_{4} \ {0}, 2 + 4ℤ ∈ ℤ_{4}[x] \ {0} ja (2 + 4ℤ) · (2 + 4ℤ) = 4 + 4ℤ = 0 + 4ℤ ∈ ℤ_{4}[x].

Tehtävä 2. Lineaarialgebra 1 -kursseilta tiedetään, että kaikilla matriiseilla A, B, X, Y pätee

1) A(X + Y) = AX + AY,

2) (A + B)X = AX + BX,

3) A(BX) = (AB)X,

4) IX = X,

aina kun tulot on määritelty ja missä I on identiteettimatriisi. Tulkitsemalla ryhmän ℝ^{n} alkiot (n × 1)-matriiseiksi nähdään, että matriisitulo antaa M_{n}(ℝ)-modulirakenteen ryhmälle ℝ^{n}.

Tehtävä 3. On helpompaa laskea ensin, kuinka moni osajoukko S ⊆ V ei viritä avaruutta V. Joukot sp(S) ovat paitsi aliavaruuksia, myös aliryhmiä, joten niiden mahdolliset koot ovat Lagrangen lauseen mukaan 1, 3 ja 9. Jos siis |S| ≥ 4, niin S väistämättä virittää koko avaruuden. Jos |S| ≤ 3, niin on mahdollista, että sp(S) on triviaali aliavaruus tai kolmen vektorin aliavaruus, jolloin on olemassa a ∈ V, jolle sp(S) = {−a, ¯0, a}. Näistä havainnoista seuraa, että S ei viritä V:tä täsmälleen silloin, kun jollakin a ∈ V pätee S ⊆ {−a, ¯0, a}.

Kun a ∈ V ∖ {¯0}, niin joukolla {−a, ¯0, a} on 2^{3} = 8 osajoukkoa, missä on mukana ∅ ja {¯0}. Huomattakoon, että {−a, ¯0, a} ≠ {−b, ¯0, b}, missä a, b ∈ V ∖ {¯0}, jos ja vain jos a ≠ b ja a ≠ −b. Ositetaan V ∖ {¯0} neljäksi pariksi {(−1, 0), (1, 0)}, {(0, −1), (0, 1)}, {(−1, −1), (1, 1)} ja {(1, −1), (−, 1)}. Jokaista tällaista paria {−a, a} vastaa siis kaksi kaikille pareilla yhteistä joukon S = {−a, ¯0, a} osajoukkoa ∅ ja {¯0} sekä 6 parille ominaista osajoukkoa. Yhteensä joukkoja, jotka eivät viritä V:tä, on siis 2 + 4 · 6 = 26. Kaikkiaan virittäjistöjen lukumäärä on siten

2^{|V |}− 26 = 2^{9} − 26 = 512 − 26 = 486.

Tehtävä 4. U_{1} ei ole aliavaruus: Tarkastellaan esimerkkinä vakiojonoa a = (1)_{k∈ℕ}. Tällöin a ∈ S ja −a ∈ S, mutta näiden summa a + (−a) = ¯0 on nollajono, jolle sarja ∑ _{k}^{∞} 0 = 0 tietenkin suppenee ja siis ¯0 ∉ S. U_{2} on aliavaruus: Olkoon (a_{i}), (b_{i}) ∈ U_{2} ja a ∈ ℝ.

1) Koska jonoilla (a_{i}) ja (b_{i}) pätee a_{p} = a_{0} ja b_{p} = b_{0} kaikilla alkuluvuilla p, niin myös jonolla (a_{i}) + (b_{i}) = (a_{i} + b_{i}) pätee a_{p} + b_{p} = a_{0} + b_{0} kaikilla alkuluvuilla p. Siispä (a_{i}) + (b_{i}) ∈ U_{2}.

2) Koska a_{p} = a_{0} kaikilla alkuluvuilla p, niin myös aa_{p} = aa_{0} kaikilla alkuluvuilla p. Siispä a(a_{i}) = (aa_{i}) ∈ U_{2}.

3) Selvästi 0 = (0) ∈ U_{2}.

U_{3} on aliavaruus: Olkoon (a_{i}), (b_{i}) ∈ U_{3} ja a ∈ ℝ.

1) Koska sink > 0 ⇒ a_{k} = b_{k} = 0, niin myös pätee sink > 0 ⇒ a_{k} + b_{k} = 0. Siispä (a_{i}) + (b_{i}) = (a_{i} + b_{i}) ∈ U_{3}.

2) Koska sink > 0 ⇒ a_{k} = 0, niin myös pätee sink > 0 ⇒ aa_{k} = 0. Siispä a(a_{i}) = (aa_{i}) ∈ U_{3}.

3) Selvästi 0 = (0) ∈ U_{3}.

Tehtävä 5. Tehdään joukolle {sin, cos, exp} vapaustesti. Olkoot a, b, c ∈ ℝ skalaareja, joille a sin+b cos+c exp = 0 eli

(a sin+b cos+c exp)(x) = a sin(x) + b cos(x) + c exp(x) = 0

kun x ∈ ℝ. Tarkastellaan lineaarikombinaatiota sopivissa kohdissa x. Sijoitettamalla vuoroin x = 0, vuoroin x = π, saadaan

0 = a sin0 + b cos0 + ce^{0} = a · 0 + b · 1 + c · 1 = 0 + b + c = b + c
0 = a sinπ + b cosπ + ce^{π} = a · 0 + b · (−1) + c · e^{π} = 0 − b + ce^{π} = −b + ce^{π}
⟺ \{ \begin{matrix}c + b = 0 \\ ce^{π} − b = 0 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}(1 + e^{π})c = 0 \\ c + b = 0. \end{matrix} ⟺ b = c = 0.

Siis a = b = c, joten {sin, cos, exp} on vapaa. Toisaalta valitsemalla x = π/2 saadaan 0 = a sin(π/2) + b cos(π/2) + ce^{π/2} = a · 1 + 0 + 0 = a, joten a = b = c = 0 ja joukko {sin, cos, exp} on vapaa.

Tehtävä 6. Olkoot V_{0}, …, V_{n−1} ⊆ V (n ∈ ℕ) epätriviaaleja V:n aliavaruuksia, joille V = V_{0}∪⋯ ∪V_{n−1} . Osoitetaan, että V = V_{i} jollakin i ∈ {0, …, n−1}. Voidaan olettaa, että V_{0} ≠ V, joten on olemassa b ∈ (V_{1} ∪ ⋯∪ V_{n−1} ) ∖ V_{0}.

Olkoon a ∈ V_{0}. Tarkastellaan alkioita a + kb, missä k ∈ K \ {0}. Näitä alkioita on äärettömän monta, koska K on ääretön. Jos pätisi a + kb ∈ V_{0}, niin tällöin pätisi myös kb = a + kb − a ∈ V_{0} ja edelleen b = k^{−1} kb ∈ V_{0}, mikä on vastoin oletusta. Siispä a + kb ∉ V_{0} kaikilla k ∈ K \ {0} jolloin siis a + kb ∈ V_{1} ∪ ⋯∪ V_{n−1} kaikilla k ∈ K \{0}. Koska näitä alkioita on äärettömän monta, niin jossakin aliavaruudessa V_{i}, i ∈ {1, …, n−1}, on oltava äärettömän monta tällaista alkiota. Erityisesti on olemassa k, l ∈ K\{0}, joille k ≠ l ja a+kb, a+lb ∈ V_{i}. Tällöin myös (k−l)b = a+kb−(a+lb) ∈ V_{i}, mistä seuraa, että b ∈ V_{i} ja a = (a+kb)−kb ∈ V_{i}. Erityisesti siis a ∈ V_{1}∪⋯ ∪V_{n−1} . Näin ollen V_{0} ⊆ V_{2} ∪ ⋯∪ V_{n}, joten V = V_{1} ∪ ⋯∪ V_{n−1} ja voidaan unohtaa V_{0} tarkastelusta. Induktiolla voidaan siis osoittaa, että V_{i} = V jollakin i.