Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoituksen 6 ratkaisuja Kevät 2024

Tehtävien 1–3 ja 6 ratkaisut on muokattu Ville Puuskan tekemistä.

Tehtävä 1. Ensiksi havaitaan, ettei ℚ-vektoriavaruus ℝ voi olla äärellisulotteinen, sillä silloin olisi ℝ ≅ ℚ^{n} jollain n ∈ ℕ, mikä on mahdotonta, sillä ℝ on ylinumeroituva ja ℚ^{n} on numeroituva. Olkoon I ⊆ ℝ numeroituvasti ääretön ja vapaa. Joukko I voidaan tällöin esittää luettelona I = {x_{n} | n ∈ ℕ}. Koska viritys on äärellisluonteista, huomataan, että

sp(I) = ⋃_{n∈ℕ} sp({x_{0}, …, x_{n−1} }).

Joukko V_{n} = sp({x_{0}, …, x_{n−1} }) on numeroituva, sillä dim(ℚ^{n}) = n dim(V_{n}), jotenℚ^{n} ≅ V_{n}. Siis sp(I) on numeroituvien joukkojen numeroituvana yhdisteenä numeroituva. Erityisesti sp(I) ≠ ℝ. Koska tällainen I ei voilla ℝ:n kanta, niin päätellään, että ℝ:llä ei voi olla numeroituvaa kantaa.

Tehtävä 2. P_{n} on R[x]:n alimoduli, koska 1) nollapolynomi on selvästi joukossa, 2) kerrottaessa polynomia R:n alkiolla aste ei voi kasvaa, ja 3) polynomien summan aste on ylhäältä rajoitettu summattavien polynomien asteilla (vrt. seuraavaan tehtävään, jossa vastaava tarkastelu on tehty muodollisemmin).

Olkoot p, q ∈ P_{n} ja a ∈ R. Ensinnäkin A(p) ∈ P_{n}, sillä

deg(A(p)) ≤ maxdeg(p), deg(p(0)(1 + x + s^{2})) ≤ max{n, 2} = n,

joten A todella on kuvaus P_{n} → P_{n}. Edelleen

A(p + q) = (p + q) − ((p + q)(0))(1 + x + x^{2})
= (p + q) − ((p(0) + q(0))(1 + x + x^{2})
= p − p(0)(1 + x + x^{2}) + q − q(0)(1 + x + x^{2})
= A(p) + A(q)

ja

A(ap)= ap − ((ap)(0))(1 + x + x^{2})
= ap − a(p(0))(1 + x + x^{2})
= a(p − p(0)(1 + x + x^{2}))
= aA(x)

Siis A on lineaarikuvaus.

Osoitetaan, että ImA = {p ∈ P_{n} | p(0) = 0} =: M. Jos p ∈ M niin selvästi A(p) = p, joten p ∈ ImA. Toisaalta, jos p ∈ ImA, eli p = A(q) jollakin q ∈ P_{n}, niin p(0) = q(0)−q(0)(1+0+0^{2}) = q(0)−q(0) = 0, joten p ∈ M. Siispä ImA = M. Selvästi M = sp({x, x^{2}, …, x^{n−1} }), joten dimImA = n − 1.

Tehtävä 3. Sopimuksen mukaan deg(0) = −∞ < 0, joten 0 ∈ P_{n}. Olkoot a ∈ K ja p, q ∈ P_{n}. Tällöin deg(ap) = degp < n, kun a ≠ 0. Jos taas a = 0, niin ap = 0 ∈ P_{n}. Siispä ap ∈ P_{n}. Lisäksi deg(p + q) ≤ max{degp, degq} < n, joten p + q ∈ P_{n}. P_{n} on siis K[x]:n aliavaruus.

Osoitetaan sitten, että U ⊆ P_{4} on aliavaruus. Selvästi 0 ∈ U. Olkoot a ∈ K ja p, q ∈ U. Tällöin

(p + q)(0) = p(0) + q(0) = p(1) + q(1) = (p + q)(1)

ja

(ap)(0) = a(p(0)) = a(p(1)) = (ap)(1),

eli p + q, ap ∈ U. Siispä U on aliavaruus.

Osoitetaan sitten, että S = {1, x(x−1), x^{2}(x−1)} on U:n kanta. Koska polynomien asteet eroavat toisistaan, joukko on vapaa. Olkoon p ∈ U. Tällöin myös p(0) ∈ U, koska kaikki vakiopolynomit ovat selvästi U:ssa. Siispä myös q = p − p(0) ∈ U. Nyt q(1) = q(0) = 0. Siis x(x − 1) | q, joten on olemassa f ∈ K[x], jolle q = x(x − 1)f. Koska degq < 4, niin degf < 2. Siispä f = ax + b joillakin a, b ∈ K. Siten

q = x(x − 1)f = x(x − 1)(ax) + x(x − 1)b = ax^{2}(x − 1) + bx(x − 1) ∈ spS.

Siispä myös p = q + p(0) ∈ spS. On siis osoitettu, että U ⊆ spS. Lisäksi spS ⊆ U on selvää, sillä S ⊆ U. S on siis U:n kanta, joten dimU = 3.

Tehtävä 4. a) Oletetaan, että A ei ole injektio. Tällöin Ker(A) ≠ {¯0}, joten on olemassa x ∈ U, jolle A(x) = ¯0, vaikka x ≠ ¯0. Kirjoitetaan x lineaarikombinaationa kannan E vektoreista,

x = ∑_{e∈E} λ_{e}e,

missä λ_{e} ∈ K, kun e ∈ E. Huomataan, että

¯0 = A(x) = A( ∑_{e∈E} λ_{e}e) = ∑_{e∈E} λ_{e}A(e).

Koska x ≠ ¯0, jollakin e ∈ E on voimassa λ_{e} ≠ 0. Siis yo. yhtälö osoittaa, että jono (A(e))_{e∈E} ei ole vapaa.

Toisinaan se, että (A(e))_{e∈E} ei ole vapaa, johtuu siitä, että jonossa on toistoa. Osoitetaan esimerkin avulla, että on mahdollista, että A[E] sen sijaan on vapaa. Olkoon U mikä tahansa vähintään kaksiulotteinen K-vektoriavaruus, missä myös kunta K on mielivaltainen. Kiinnitetään U:lle kanta E. Olkoon V mielivaltainen epätriviaali vektoriavaruus. Valitaan y ∈ V ∖{¯0}. Tarkastellaan vakiokuvausta f: E → V, f(e) = y.

Tämä laajenee yksikäsitteisesti lineaarikuvaukseksi A: U → V, jolle A ↾ E = f. Koska U on vähintään kaksiulotteinen, kannassa on vähintään kaksi vektoria, joten on olemassa e, e′∈ E, e ≠ e′, joille f(e) = y = f(y′). Siis kuvaus f ei ole injektio, eikä myöskään sen laajennus A. Kuitenkin A[E] = {y} on vapaa joukko, sillä y ≠ ¯0.

b) Luennoilla todistetun lauseen mukaan

sp(A[E]) = A[sp(E)] = A[U] ≠ V,

sillä E on kantana virittöjistö ja A ei ole surjektio. Siis A[E] ei ole V:n virittäjistö.

Tehtävä 5. Merkitään avaruuden (ℤ_{p})^{m} standardikantaa symbolilla E, jolloin |E| = m. (E voisi olla mikä tahansa kanta, mutta standardikannasta tiedetään heti sen koko.) Lineaarikuvaus A: (ℤ_{p})^{m} → (ℤ_{p})^{n} määräytyy rajoittumasta A ↾ E, ts. jos lineaarikuvauksille A, B: (ℤ_{p})^{m} → (ℤ_{p})^{n} pätee A ↾ E = B ↾ E, niin A = B, ja jokaista f: E → (ℤ_{p})^{n} vastaa lineaarikuvaus A: (ℤ_{p})^{m} → (ℤ_{p})^{n}, jolle A ↾ E = f. Siis lineaarikuvauksia A: (ℤ_{p})^{m} → (ℤ_{p})^{n} on yhtä monta kuin kuvauksia f: E → (ℤ_{p})^{n}. Jälkimmäisten lukumäärä on

|^{E}((ℤ_{p})^{n})| = |(ℤ_{p})^{n}|^{|E|} = (p^{n})^{m} = p^{mn}.

Tehtävä 6. Tarkastellaan jonoavaruutta V = ^{ℕ}ℝ, joka on luonnollisella tavalla ℝvektoriavaruus, ja siirto-operaattoria A: V → V,

A((x_{n})_{n∈ℕ}) = (x_{n+1} )_{n∈ℕ} .

KerA ei ole triviaali, sillä esimerkiksi jonolle e = (δ_{0n})_{n∈ℕ} ≠ ¯0 pätee A(e) = ¯0. (Itse asiassa KerA = sp({e}).) Sen sijaan ImA = V, sillä kun y = (y_{n})_{n∈ℕ} ∈ V, niin jonolle x = (x_{n})_{n∈ℕ}, missä

x_{n} = \{ \begin{matrix}0, & kun n = 0 \\ x_{n−1} , & muuten \end{matrix}

pätee A(x) = y.

Huomautus: Itse asiassa idea yleistyy kaikkiin ääretönulotteisiin vektoriavaruuksiin. Jos nimittäin V on vektoriavaruus ja E sen ääretön kanta, niin voidaan valita F ⊊ E, jolle |F | = |E|. On siis olemassa bijektio g: F → E, joka laajenee kuvaukseksi h: E → E, joka ei ole injektio. Tämän laajennus lineaarikuvaukseksi A: V → V ei ole injektio mutta on surjektio, joten se täyttää esimerkiltä vaadittavat ehdot.