Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Harjoituksen 7 ratkaisuja Kevät 2024

Tehtävien ratkaisut on muokattu Ville Puuskan tekemistä.

Tehtävä 1. Koska x ≠ 0, yksiö {x} on vapaa. Siis on olemassa kanta E ⊆ V, jolle {x} ⊆ E eli x ∈ E. Tarkastellaan kuvausta f: E → Z, jolle f(x) = z ja f(e) = ¯0, kun e ∈ E ∖ {x}. Tiedetään, että tämä voidaan laajentaa lineaarikuvaukseksi A: V → Z, jolle A ↾ E = f, jolloin A(x) = f(x) = z.

Tehtävä 2. Huomataan, että joukko S = {y, e_{0}, e_{1}, …} ⊆ s on vapaa: Olkoon (λ_{e})_{e∈S} äärellisluonteinen jono reaalisia kertoimia. Äärellisluonteisuuden nojalla on olemassa sellainen k ∈ ℕ, että λ_{e_{i}} = 0, kun i ∈ ℕ ja i ≥ k. Merkitään x = ∑ _{e∈S} λ_{e}e ja oletetaan, että x = ¯0. Tällöin 0 = x(k + 1) = λ_{y}y(k + 1) = λ_{y}. Tämän vuoksi

¯0 = x = (λ_{e_{0}}, ⋯, λ_{e_{k}}, 0, 0, ⋯,),

joten myös pätee λ_{e_{i}} = 0, kun i ∈ ℕ ja i ≥ k.

Koska S on vapaa, on olemassa kanta E ⊆ s, jolle S ⊆ E. Olkoon f: E → s,

f(e) = \{ \begin{matrix}y + 24e_{7} & kun e = y \\ e & muuten. \end{matrix}

Tiedetään, että f laajenee yksikäsitteisellä tavalla lineaarikuvaukseksi A: s → s.

A on surjektio, sillä y = A(y−24e_{7}) ∈ ImA ja e = A(e) ∈ ImA kaikilla e ∈ E ∖{y}, jolloin E ⊆ ImA ja edelleen s = spE ⊆ ImA. Lisäksi A on injektio, sillä

0 = A ( ∑_{e∈E} a_{e}e) = a_{y}y + (a_{e_{7}} + 24a_{y})e_{7} + ∑_{{e∈E, \atop e≠y,e_{7}}} a_{e}e

⇒ a_{y} = 0 ∧ a_{e_{7}} + 24a_{y} = 0 ∧ ∀e ∈ E ∖ {y, e_{7}} (a_{e} = 0) ⇒ ∀e ∈ E (a_{e} = 0)

⇒ ∑_{e∈E} a_{e}e = 0.

eli KerA = {0}. Siis A on lineaarinen automorfismi.

Tehtävä 3. Valitaan

U = {(x, y, 0, 0) | x, y ∈ ℝ},
U′= U,
V = {(0, 0, z, t) | z, t ∈ ℝ} ja
V′= {(0, y, z, t) | y, z, t ∈ ℝ}.

Selvästi U ∩ V = {(0, 0, 0, 0)}, joten suoruuskriteerin mukaan summa U + V on suora. Lisäksi jokainen (x, y, z, t) ∈ ℝ^{4} voidaan esittää muodossa

(x, y, z, t) = (x, y, 0, 0) + (0, 0, z, t) ∈ U + V,

joten U ⊕ V = ℝ^{4}. Koska U ⊆ U′ja V ⊆ V′, pätee myös U′+ V′= ℝ^{4}. Summa U′+ V′ ei kuitenkaan ole suora, sillä (0, 1, 0, 0) ∈ U′∩ V′, joten U′∩ V′ ≠ {(0, 0, 0, 0)}.

Tehtävä 4. Olkoot L_{0} ja L_{1} ℤ-modulin ℚ aitoja, epätriviaaleja alimoduleita. Koska �_{0} ja L_{1} ovat epätriviaaleja, voidaan valita q_{i} ∈ L_{i} ∖ {0}, kun i ∈ {0, 1}. Esitetään q_{0} ja q_{1} edelleen murtolukuina: q_{i} = m_{i}/n_{i}, missä m_{i}, n_{i} ∈ ℤ ∖ {0}, kun i ∈ {0, 1}. Koska q_{0} ∈ L_{0} ja L_{0} on ℤ-moduli, niin

m_{0}m_{1} = (m_{1}n_{0})q_{0} ∈ L_{0}.

Vastaavasti saadaan m_{0}m_{1} ∈ L_{1}. Koska m_{0}m_{1} ≠ 0, niin L_{0} ∩ L_{1} ≠ {0}, joten summa L_{0} + L_{1} ei ole suora. Erityisesti etsitynlainen esitys ℚ = L_{0} + L_{1} on mahdoton.

Tehtävä 5. a) Olkoon f ∈ C(ℝ, ℝ). Määritellään kuvaus l: ℝ → ℝ, x ↦ f(0) − 2f(0)x. Nyt

∫_{0}^{1} l(x)dx = 0

joten l ∈ Z. Lisäksi (f − l)(0) = 0, joten f − l ∈ U. Siispä f = (f − l) + l ∈ U + Z, joten C(ℝ, ℝ) = U + Z.

Summa ei ole suora, sillä esimerkiksi (x ↦ sin(2πx)) ∈ U ∩ Z.

b) Merkitään vakiokuvauksien aliavaruutta ℝ ⊆ C(ℝ, ℝ). Nyt selvästi ℝ ∩ Z = {0}, joten summa ℝ + Z on suora. Lisäksi kaikilla f ∈ C(ℝ, ℝ) pätee

∫_{0}^{1} f(x) − ( ∫_{0}^{1} f(x)dx)dx = 0,

eli f −∫_{0}^{1} f(x)dx ∈ Z. Siis f = ∫_{0}^{1} f(x)dx+(f −∫_{0}^{1} f(x)dx) ∈ ℝ+Z, joten C(ℝ, ℝ) = ℝ ⊕ Z.

Tehtävä 6. Jos λ_{e} ∈ I kaikilla e ∈ E, niin tietenkin λ_{e}e ∈ IL kaikilla e ∈ E, jolloin x = ∑ _{e∈E} λ_{e}e ∈ M.

Käänteisen implikaation todistamiseksi huomataan ensin, että M = sp(IL) = sp(IE). Nimittäin koska E ⊆ L, niin IE ⊆ IL ja sp(IE) ⊆ sp(IL). Käänteisen sisältyvyyden todistamiseksi osoitetaan ensin, että IL ⊆ spIE. Olkoon v ∈ IL, jolloin v = ru joillakin r ∈ I ja u ∈ L. Koska E on L:n kanta, vektori u voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa u = ∑ _{e∈E} λ_{e}e. Siis

v = ru = r ∑_{e∈E} λ_{e}e = ∑_{e∈E} (rλ_{e})e ∈ sp(IE),

sillä r ∈ I ja koska I on ideaali, niin jokaisella e ∈ E pätee rλ_{e} ∈ I. Koska IL ⊆ spIE, niin sp(IL) ⊆ sp(sp(IE)) = sp(IE).

Olkoon x ∈ M ja x = ∑ _{e∈E} λ_{e}e sen yksikäsitteinen esitys kantavektorien avulla. Havainnon M = sp(IE) nojalla voidaan toisaalta kirjoittaa

x = ∑_{r∈I,e∈E} a_{r,e}re = ∑_{e∈E} ( ∑_{r∈I} a_{r,e}r) e.

Vektorin x kantavektoriesityksen yksikäsitteisyyden nojalla jokaisella e ∈ E pätee siis λ_{e} = ∑ _{r∈I} a_{r,e}r ∈ I.